Начертательная геометрия и инженерная графика

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Тверская государственная сельскохозяйственная академия»

Кафедра технической эксплуатации автомобилей

 

 

Курс лекций

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

Начертательная геометрия и инженерная графика

 

Направление подготовки - 35.03.06- Агроинженерия

Направленность (профиль)

-Технические системы в агробизнесе

-Электрооборудование и электротехнологии

 

 

 

Тверь 2016

 

Лекции

стр.

Предисловие................................................................ 7

ЛЕКЦИЯ 1

1. Введение............................................................. 8

1.1. Предмет начертательной геометрии........................ 8

1.2. Принятые обозначения геометрических образов

и действий над ними............................................ 10

1.3. Метод проецирования........................................... 12

1.4. Виды проецирования............................................. 13

1.5. Основные свойства параллельного проецирования.... 14

1.6. Способы дополнения однопроекционного изображения 16

Вопросы для самопроверки.......................................... 18

ЛЕКЦИЯ 2

2. Комплексный чертеж.............................................. 19

2.1. Образование комплексного чертежа....................... 19

2.2. Прямая на комплексном чертеже........................... 24

2.3. Плоскость на комплексном чертеже...................... 27

2.4. Следы прямой и плоскости................................... 30

Вопросы для самопроверки.......................................... 32

ЛЕКЦИЯ 3

3. Позиционные задачи.............................................. 33

3.1. Взаимопринадлежность точки и прямой................. 33

3.2. Взаимопринадлежность прямой и плоскости......... 34

3.3. Взаимопринадлежность точки и плоскости............. 35

3.4. Условия видимости конкурирующих точек............ 35

3.5. Взаимная параллельность прямых и плоскостей... 36

3.6. Пересечение прямой и плоскости.......................... 38

3.7. Пересечение двух плоскостей................................ 40

Вопросы для самопроверки.......................................... 42

ЛЕКЦИЯ 4

4. Позиционные задачи с многогранниками...........…. 43

4.1. Некоторые общие сведения о многогранниках........ 43

4.2. Изображение многогранников на комплексном чертеже 44

4.3. Пересечение многогранника плоскостью................ 45

4.4. Пересечение многогранника прямой линией.......... 48

4.5. Взаимное пересечение многогранников................. 49

Вопросы для самопроверки.......................................... 51

ЛЕКЦИЯ 5

5. Метрические задачи............................................... 52

5.1. Определение натуральной величины отрезка.......... 52

5.2. Ортогональная проекция прямого угла................. 53

5.3. Прямые наибольшего наклона плоскости............... 55

5.4. Перпендикулярность прямой и плоскости.............. 58

Вопросы для самопроверки.......................................... 59

ЛЕКЦИЯ 6

6. Преобразование комплексного чертежа................. 60

6.1. Общие сведения и определения............................. 60

6.2. Способ замены плоскостей проекций.................... 62

6.3. Способ дополнительного проецирования.............. 67

Вопросы для самопроверки.......................................... 68

ЛЕКЦИЯ 7

7. Преобразование комплексного чертежа.................. 69

7.1. Способ плоскопараллельного движения.................. 69

7.1.1. Способ вращения вокруг проецирующих прямых.. 70

7.2. Способ вращения вокруг прямой уровня

(способ совмещения)............................................. 74

Вопросы для самопроверки......................................….. 75

ЛЕКЦИЯ 8

8. Кривые линии и их проекционные свойства.......... 76

8.1. Основные понятия и определения............................ 76

8.2. Прямоугольные проекции кривых линий................ 78

8.2.1. Прямоугольная проекция окружности.................. 80

8.3. Обводы.................................................................. 82

Вопросы для самопроверки........................................… 83

ЛЕКЦИЯ 9

9. Поверхности............................................................ 84

9.1. Основные понятия и определения........................... 84

9.2. Классификация поверхностей................................ 87

9.3. Линейчатые поверхности....................................... 88

9.3.1. Линейчатые поверхности параллельного переноса.... 90

9.3.2. Линейчатые поверхности с одной направляющей(торсы) 92

Вопросы для самопроверки............................................ 93

ЛЕКЦИЯ 10

10. Поверхности вращения........................................... 94

10.1. Определение и термины......................................... 94

10.2. Поверхности, образованные вращением прямой линии 95

10.3. Поверхности, образованные кривыми второго порядка 97

10.4. Винтовые поверхности........................................… 99

Вопросы для самопроверки........................................…. 100

ЛЕКЦИЯ 11

11. Позиционные и метрические задачи с поверхностями 101

11.1. Пересечение поверхностей с плоскостью................. 101

11.2. Пересечение поверхностей с линией....................... 104

Вопросы для самопроверки.............................................. 106

ЛЕКЦИЯ 12

12. Взаимное пересечение поверхностей....................… 107

12.1. Способ вспомогательных плоскостей...................... 109

12.2. Способ сфер …...................................................... 113

12.2.1. Способ концентрических сфер............................. 113

12.2.2. Способ эксцентрических сфер............................ 115

Вопросы для самопроверки............................................ 116

ЛЕКЦИЯ 13

13. Развертки поверхностей........................................ 117

13.1. Основные понятия и определения......................... 117

13.2. Развертки поверхности многогранников.............. 119

13.3. Построение приближенных разверток

развертывающихся поверхн остей …...................... 125

 

13.4. Построение условных разверток неразвертывающихся

поверхностей......................................................... 128

Вопросы для самопроверки............................................ 130

ЛЕКЦИЯ 14

14. Аксонометрические проекции................................ 131

14.1. Основные понятия и определения …....................... 131

14.2. Прямоугольная аксонометрия и ее свойства.......... 134

14.3. Стандартные аксонометрические проекции........... 136

14.4. Примеры построения в аксонометрии

геометрических фигур......................................... 137

Вопросы для самопроверки............................................ 141

Список литературы...................................................... 142

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый конспект лекций представляет краткое изложение курса начертательной геометрии в объеме учебной программы для студентов инженерно-технических специальных вузов.

При составлении конспекта использована структура и параметризация курса учебников по начертательной геометрии Н.Ф. Четверухина и А.Д. Посвянского.

Каждая изучаемая тема сопровождается алгоритмами решения задач, выдержанных в стиле современных учебников для вузов (например, учебник “Начертательная геометрия”, автор - профессор Г.С. Иванов).

Компактность изложения позволила всю программу курса вместить в четырнадцать лекций, что представляет, на наш взгляд, большое удобство для учащихся всех форм обучения и особенно заочной.

 

 

ЛЕКЦИЯ 1.

ВВЕДЕНИЕ

I.3. Метод проецирования

Все задачи начертательная геометрия решает своим, присущим только ей методом - методом проецирования. С помощью этого метода устанавливается связь между оригиналом и его изображением. Он позволяет составить алгоритм графических операций, необходимых для построения изображения и чтения чертежа, а также для решения позиционных и метрических задач.

В аппарат проецирования входят следующие элементы: плоскость проекций - П¢, которую иногда называют картинной плоскостью или носителем проекций; центр проекций (полюс проекций) - S; объект проецирования (фигура, представленная геометрическими элементами).

Рис. 1.1

На рис. 1.1. представлен пример проецирования отрезка прямой [АВ] на плоскость проекций П¢. Операция проецирования состоит из трех этапов:

1- соединение оригинала с центром проецирования: SÈA = [SA) - луч с началом в точке S (проецирующий луч), SÈB = [SB);

2- пересечение проецирующих лучей с плоскостью проекций: [SA) Ç П¢= А¢; [SB) Ç П¢= B¢, где А¢ и B¢ являются проекциями точек А и В;

3- соединение проекций точек А¢ и B¢: А¢ÈB¢ = [А¢B¢] - проекция отрезка [АВ] на плоскость П¢.

Виды проецирования

Рис.1.2   Рис.1.3

В зависимости от расположения центра проецирования S и плоскости проекций П¢ проецирование может быть: центральным (коническим), когда центр проецирования расположен на конечном расстоянии от плоскости проекций (рис.1.1., рис. 1,2.), параллельным (цилиндрическим), когда центр проецирования удален от плоскости проекций в бесконечность. При параллельном проецировании задается направление проецирования s. Полученное таким образом изображение называется параллельной проекцией.

На рис. 1.3. показано построение параллельной проекции кривой линии l. Проецирующие лучи в данном случае будут параллельны и, следовательно, составляют с плоскостью проекций П¢ один и тот же угол. Если этот угол не равен 90°, то параллельное проецирование называется косоугольным. В случае, когда проецирующие лучи направлены перпендикулярно плоскости проекций, т.е. когда s^П¢, параллельное проецирование называется прямоугольным или ортогональным.

Из сказанного очевидно, что параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, а прямоугольное в свою очередь, частным случаем параллельного проецирования.

 

Проецирования

1. Проекция точки есть точка. Это следует из самого. процесса (операций) проецирования.

2. Проекция прямой в общем случае есть прямая (рис. 1.4.). Для построения ортогональной проекции прямой l (A,B) проводятся два проецирующих луча а и b параллельно направлению проецирования s. Они параллельны между собой и определяют плоскость å, которая пересекается с плоскостью проекций П¢ по прямой l¢. В символах: åÇП¢ = l¢.

Рис.1.4

3. Свойство параллельности. Если прямые в пространстве параллельны, то параллельны и их проекции. (рис. 1.4.). На рисунке видим, что прямая l с лучами а и b и прямая m с лучами c и d образуют соответственно две параллельные плоскости å и D. (å||D) ÇП¢Þl¢||m¢.

Рис.1.5

4. Если прямая совпадает с направлением проецирования, то её проекция вырождается в точку и такая прямая называется проецирующей (рис. 1.5.).

5. Плоскость в общем случае проецируется полем множества точек. Но если плоскость совпадает с направлением проецирования, то её проекция вырождается в прямую линию, как это видно по рис. 1.4. на примере плоскости å или D.

6. Отношение длин отрезков двух параллельных прямых равно отношению длин их проекций (см. рис. 1.4.). Треугольник АА*В подобен треугольнику СС*D, как треугольник со взаимно параллельными сторонами, поэтому

АВ А*В А*В = А¢В¢, и АВ А¢В¢

СD C*D C*D = C¢D¢ следовательно CD C¢D¢.

7. Свойство принадлежности. Если точка лежит на прямой, то ее проекция принадлежит проекции данной прямой, что видно на том же рис. 1.4.

8. При параллельном переносе плоскости проекций проекция фигуры не меняется (рис. 1.6.).

А¢А¢¢=В¢В¢¢=С¢С¢¢ и параллельны, следовательно, А¢В¢В¢¢А¢¢, В¢С¢С¢¢В¢¢ и С¢А¢А¢¢С¢¢ являются параллелограммами, у которых противоположные стороны, как известно, равны. Поэтому А¢В¢¢=А¢¢В¢¢,В¢С¢=В¢¢С¢¢,С¢А¢=С¢¢А¢¢т.е. DА¢В¢С¢=DА¢¢В¢¢С¢¢.

1.6. Способы дополнения

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ

Образование комплексного чертежа

Изображение предмета на несколько взаимно перпендикулярных плоскостей с помощью прямоугольного проецирования впервые было систематизировано и изложено французским ученым Госпаром Монжем, поэтому такой способ иногда называют методом Монжа, а полученные чертежи - эпюрами Монжа.

Рис.2.1

При использовании двух плоскостей проекций (см. рис. 2.1.) плоскость П₁ располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость П₂ располагается вертикально перед наблюдателем и называется фронтальной плоскостью проекций. Линия пересечения этих плоскостей проекций называется осью проекций и обозначается буквой Х. Две плоскости проекций разбивают все пространство на четыре части, которые называются квадрантами. Квадранты нумеруются в порядке, указанном на рисунке.

Образование комплексного чертежа покажем на примере проецирования точки А, расположенной в первом квадранте. При этом, точка А проецируется одновременно на обе плоскости проекций. Проекция А₁ называется горизонтальной проекцией точки А, а проекция А₂ - фронтальной проекцией. Проекция точки на вторую плоскость (например, на плоскость П₂) является вторым дополнительным элементом, который позволяет теперь однозначно определить положение точки в пространстве. Если из проекций А₁ и А₂ провести проецирующие лучи, то они, будучи принадлежащими одной плоскости АА₁А_хА₂, пересекутся в одной точке.

Так как лучи АА₁ и АА₂ перпендикулярны П₁ и П₂, то, следовательно, плоскость АА₁А_хА₂ перпендикулярна обеим плоскостям проекций и, значит, их линии пересекаются, т.е. ось х, которая, в свою очередь, перпендикулярна А₁А_х и А₂А_х.

Рис.2.2

Пользоваться для изображения предметов пространственной системой взаимноперпендикулярных плоскостей проекций сложно, поэтому она приводится к плоскому виду. Для этого горизонтальная плоскость проекций вращением вниз вокруг оси х совмещается с фронтальной плоскостью проекций П₂. В результате получается комплекс двух проекций точки А на одной плоскости (см. рис. 2.2.). Полученное изображение называется комплексным чертежом точки. На чертеже прямая А₁А₂, соединяющая проекции точки А, называется линией связи. Как видно из построения две проекции точки находятся на одной линии связи, а линия связи всегда перпендикулярна к оси проекций.

Комплекс двух проекций точки однозначно определяет её положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций, следовательно, для того чтобы задать точку на чертеже, необходимо и достаточно указать две её проекции.

При выполнении изображений предметов в ряде случаев возникает необходимость введения третьей плоскости проекций, перпендикулярной к двум имеющимся. Эта новая плоскость проекций обозначается П₃ и называется профильной плоскостью проекций.

а) б)   Рис.2.3

Три плоскости проекций делят пространство на восемь октантов, которые нумеруются в порядке, указанном на рис. 2.3., а.

 

В общем случае предмет может быть расположен в любом октанте. При выполнении технических чертежей предмет располагают в первом октанте, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только этот октант.

На примере с точкой А, проецируя её ортогонально на указанные плоскости П₁,П₂ и П₃, соответственно, имеем проекции А₁,А₂ и А₃.

Для образования комплексного чертежа горизонтальную плоскость проекции П₁ вращаем вниз вокруг оси х, а профильную плоскость проекций П₃ вращаем вправо вокруг оси z до совмещения с фронтальной плоскостью проекций П₂. В результате такого совмещения образуется трехпроекционный комплексный чертеж точки А с осями x,y,z (см. рис. 2.3.б). При этом ось y продольно как бы разрезается и одна её часть совмещается с продолжением оси x, а вторая с продолжением оси z. Линия связи А₁А₃, как следствие, разрывается в точке А_у. Как известно из курса черчения средней школы, для построения недостающего участка линии связи А₁А₃ можно использовать: дугу окружности, как показано на приведенном чертеже; прямую А_уА_у1, проведенную под углом 45° к оси y; с помощью биссектрисы угла А_уОА_у1 - условно называемой постоянной прямой трехпроекционного комплексного чертежа.

Профильная проекция А₃ по двум заданным А₁ и А₂ может быть найдена без использования линии связи А₁А_3. Достаточно на линии связи А₂А₃ от оси z отложить удаление горизонтальной проекции А, от оси x, т.е. А_ZА₃=А_хА₁.

Полезно точку А₁, находящейся в квадранте или октанте, охарактеризовать её параметрами, для чего вводятся следующие термины:

высота точки - это расстояние точки от горизонтальной плоскости проекции П₁ - АА₁ (на комплексном чертеже это отрезок А₂А_х);

глубина точки - это расстояние точки от фронтальной плоскости проекции П₂ - АА₂ (на комплексном чертеже это равные отрезки А₁А_х и А₃А _Z);

ширина точки - это расстояние точки от профильной плоскости П₃-АА₃(на комплексном чертеже это отрезок А₂А_Z).

За основные свойства трехпроекционного комплексного чертежа принимаются следующие положения:

¨ две проекции точки принадлежат одной линии связи;

¨ линии связи перпендикулярны соответствующим осям проекций;

¨ две проекции точки определяют положение её третьей проекции.

В общем случае формулировку комплексному чертежу можно дать следующим образом:

комплексный чертеж - это чертеж, в котором две или более ортогональных проекций одного объекта совмещены в одной плоскости и находятся в проекционной связи.

Как было отмечено выше, три взаимноперпендикулярные плоскости П₁,П₂ и П₃ пересекаются по трем осям проекций x,y,z. Оси проекций взаимноперпендикулярны и их можно принять за пространственную систему декартовых координат. Точка А (см. рис. 2.3,а) связана с началом осей координат ломаной линией ОА_хА₁А, состоящей из трех отрезков равных соответственно ширине, глубине и высоте точке А. Измерив длины отрезков координатной ломаной и выразив их относительными числами (например, в мм), получим координаты точки x,y и z. Координаты точки можно определить и по комплексному чертежу. Можно решить и обратную задачу: по данным координатам точки построить комплексный чертеж или наглядное изображение точки.

Пример. Построить точки А.В и С по данным координатам на комплексном чертеже (рис. 2.4).

Для точки А от начала координат по оси x откладываем координату x=10 мм.

Через А_х проводим линию связи перпендикулярно оси x.

Рис.2.4

На ней откладываем в направлении оси y координату y=15 мм и в направлении оси z - координату z =25 мм. Аналогично следует поступить с точками В и С. Предлагается построить их проекции самостоятельно.

Следы прямой и плоскости

В некоторых случаях бывает целесообразным задавать прямые или плоскости общего и частного положения своими следами.

Следом прямой называют точки пересечения (встречи) прямой с плоскостью проекций, а следом плоскости - прямые, по которым эта плоскость пересекается с плоскостями проекций.

а) б)   Рис.2.11

 

На рис. 2.11 показана прямая l, которая может быть определена на чертеже проекциями отрезка [АВ].

Установим правило нахождения следов прямой. Обозначим горизонтальный след прямой l точкой Н_l (см. рис. 2.11., а,б), и фронтальный её след точкой F _l. Горизонтальный след - точка принадлежащая как прямой l, так и плоскости проекций П₁ (H_l = lÇП₁), поэтому Н_l2Îl₂ и Н_l2Îх, следовательно, Н_l2= l₂Çх. Горизонтальная проекция Н_l1Î l₁ (так как Н₁Î l). Поэтому для нахождения горизонтального следа прямой необходимо:

1. Отметить точку фронтальной проекции прямой с осью х(l₂Çх=Н_l2);

2. Через полученную точку провести прямую а, перпендикулярную оси х (а^х);

3. Пресечение перпендикуляра а с горизонтальной проекцией прямой укажет положение горизонтального следа Н_l (аÇ l₁=Н_l).

а) б)   Рис.2.12

 

Для определения фронтального следа прямой вместо l₂Çx выполняется операция l₁Çх=F_l1, а прямая b^x проводится через точку F_l1. Последняя операция заключается в нахождении F_l2= bÇl₂.

Вариант задания плоскости следами показан на рис.2.12,а,б. Плоскость общего положения пересекает ось проекции в точке Х_q, а плоскости проекций по прямой h_0q, f_0q, которые и обозначают следы плоскости q соответственно на П₁ и П₂.

Точку Х_q=хÇq называют точкой схода следов (в ней сходятся два следа h_0q и f_0q).

 

Вопросы для самопроверки к лекции 2:

1. Что называется комплексным чертежом и как он образуется?

2. Что такое высота, глубина и ширина точки?

3. Что такое прямая общего положения?

4. Какие две группы прямых и плоскостей частного положения Вы знаете?

5. Как можно задать плоскость на комплексном чертеже?

6. Что такое след прямой и след плоскости?

ЛЕКЦИЯ 3.

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Позиционными задачами называются задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических элементов и фигур относительно друг друга и относительно плоскости проекций.

К таким задачам, в частности, относятся задачи на взаимопринадлежность и задачи на пересечение.

 

Пересечение двух плоскостей

Две плоскости в трехмерном пространстве пересекаются по прямой. Так как прямая однозначно определяется двумя точками, то для построения линии k пересечения двух плоскостей D и q достаточно определить две их общие точки М и N.

Задача решается графически просто, если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей является проецирующей или плоскостью уровня. В этом случае одна проекция линии k совпадает с вырожденной проекцией проецирующей плоскости или плоскости уровня, а вторая проекция строится в другой заданной плоскости, из условия принадлежности прямой плоскости.

Если обе данные плоскости D и q являются проецирующими или плоскостями уровня, то возможны два варианта:

¨ плоскости D и q одновременно проецирующие, т.е. они перпендикулярны одной плоскости проекции;

¨ плоскости D и q разноименно проецирующие, т.е. перпендикулярны двум различным плоскостям проекций.

В первом случае линия k пересечения плоскости D и q также будет проецирующей. Во втором случае D и q пересекаются по прямой k; проекции k₁, k₂ которой соответственно совпадают с вырожденными проекциями плоскостей D,q (k₁ºD₁, k₂ºq₂).

Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения можно выполнить различными приемами в зависимости от способа их задания. Однако сущность этих приемов едина: с помощью двух плоскостей посредников, обычно это плоскости частного положения, определяются две точки М и N искомой линии пересечения k. Покажем это на примере.

Рис.3.7

Пример. Построить линию пересечения k плоскостей

D (аÇв) и q (m||n) (рис. 3.7.).).

В качестве посредников выберем какие-либо две параллельные плоскости уровня Г и Г¢ (горизонтальные). Плоскости Г,Г¢ пересекают плоскость D по двум параллельным прямым, являющихся горизонталями h (h_1,h₂), h^¢¢ (h¢¢₁,h¢¢₂), плоскость q -по горизонталям h¢(h¢₁,h¢₂), h¢¢¢ (h¢¢¢₁,h¢¢¢₂). Горизонтали h и h¢, принадлежащие плоскости Г, пересекаются в точке М - общей точке трех плоскостей D,q и Г. Аналогично, прямые h¢¢,h¢¢¢ пересекаются в точке N - общей точке трех плоскостей D,q и Г¢. Точки М и N, как принадлежащие данным плоскостям D и q, определяют их линию пересечения k(k₁,k₂).

Вопросы для самопроверки к лекции 3:

1. Что решают позиционные задачи?

2. Чем определяется взаимопринадлежность точки и прямой, прямой и плоскости, точки и плоскости?

3. Назовите условие видимости двух конкурирующих точек на П₁ и на П₂.

4. В каком случае прямая параллельна плоскости?

5. Каким способом находится точка пересечения прямой и плоскости?

6. Каким способом находится линия пересечения двух плоскостей?

ЛЕКЦИЯ 4

Изображение многогранников

На комплексном чертеже

Рис.4.1

На чертеже многогранники изображаются проекциями своих сеток, т.е. проекциями вершин и ребер.

На рис. 4.1. дан комплексный чертеж четерехгранной пирамиды SABC. При построении ребер пирамиды решается позиционная задача определения их видимости. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

а) линии, образующие внешний контур, называемые очерком фигуры, всегда видимы на каждой проекции;

б) если внутри очерка пересекаются два ребра, то одно из них видимое, а другое - невидимое. Их видимость определяется с помощью конкурирующих точек: на П₂ - это 1₂º2₂, а на П₁ - 3₁ º 4₁. Невидимые ребра показываются штриховыми линиями;

в) если внутри очерка сходятся в одной точке три ребра, то все три ребра будут видимые или все три невидимые. В этом случае достаточно определить видимость только одного из пересекающихся внутри очерка ребер, так как видимость двух остальных ребер будет такой же;

г) если проекция хотя бы одного из ребер, ограничивающих грань, является невидимой, то и вся грань не видна на этой плоскости проекций.

 

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Помимо позиционных задач, рассматривающих лишь относительное расположение фигур в пространстве, в инженерной практике часто приходится решать задачи, в которых выясняются вопросы измерения отрезков и углов, определения натуральной величины плоских фигур, определение расстояний и др. Такие задачи называют метрическими задачами. Их решение сводится к решению простейших (базовых) задач. К ним в первую очередь следует отнести:

¨ определение натуральной величины отрезка, заданного своими проекциями;

¨ построение проекций прямых, перпендикулярных друг другу и прямой, перпендикулярной данной плоскости.

Поэтому изложение теории и алгоритмов решения метрических задач начнем с рассмотрения сформулированных задач.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

6.1. Общие сведения и определения

Решение многих позиционных и метрических задач на комплексном чертеже часто усложняется из-за того, что заданные геометрические объекты (оригиналы) расположены произвольно относительно плоскости проекций и, следовательно, проецируются на эти плоскости в искаженном виде. Поэтому для более простого решения задач часто прибегают к такому преобразованию комплексного чертежа, которое переводило бы интересующие нас элементы оригинала из общего положения относительно плоскостей проекций в частное (прямые и плоскости проецирующие и уровня).

Задание на чертеже прямых и плоскостей в частном положении значительно упрощает решение задач и делает его выполнимым при помощи простейших графических построений. Например, для построения перпендикуляра из точки М (М₁,М₂) к горизонтали h (h₁,h₂) (рис. 6.1.) достаточно провести прямую М₁N₁^h₁, по линии связи найти точку N2 и соединить ее с точкой М2. Непосредственно по данному чертежу

Рис.6.1

определяется также натуральная длина отрезка АВ=А₁В1, принадлежащего h и угол a, составляющий горизонталью с плоскостью П2. Если прямая i (i₁, i₂) - фронтально проецирующая, то легко построить не только перпендикуляр KL (K₁L₁, К₂L₂) из точки к прямой i, но и определить расстояние KL=K₂L₂ от точки до прямой (рис. 6.2.)

Рис.6.2

Аналогично решаются задачи и в том случае, когда на чертеже даны плоскости частного положения.

Рассмотренные примеры убеждают в преимуществах, которые могут быть получены при переходе от общего расположения оригиналов относительно плоскостей проекций к их частному положению. Как же осуществляется этот переход?

Чертеж можно преобразовать следующими способами:

1) изменить взаимное расположение пространственных объектов и плоскостей проекций;

2) изменить направление проецирования (например, ортогональное на косоугольное) с одновременным введением новой плоскости проекции или оставлением “старых плоскостей” проекций.

Изменения взаимного расположения объекта и системы плоскостей проекций можно достигнуть двумя основными способами:

1) заменой данной системы плоскостей проекций новой системой так, чтобы неподвижный объект в пространстве оказался в каком-либо частном положении относительно новой системы (способ замены плоскостей проекций);

2) перемещением объекта в пространстве так, чтобы он оказался в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ плоскопараллельного движения и вращения).

Изменение направления проецирования приводит к построению дополнительных проекций объекта (способ дополнительного проецирования).

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

Обводы

Решение ряда задач требует построения линий, проходящих через упорядоченный массив точек или через данные точки и имеющие в них наперед заданные положения касательных, кругов кривизны и т.д. Иногда требуется какую-либо графически или аналитически заданную кривую заменить другой кривой.

Если исходная кривая задана большим числом точек, то выбор новой кривой, качественно заменяющей исходную, требует выполнения сложных вычислений. Для упрощения решения задачи в качестве заменяющей линии конструируют составную кривую - обвод.

Обводом называется линия, составленная из дуг кривых выбранного вида, которые в стыковых точках имеют определенный порядок соприкосновения.

В инженерной практике в качестве составляющих обводов обычно используют отрезки прямых, дуги кривых второго и третьего порядка. Порядок составляющих в стыковых точках определяет порядок гладкости обвода. Если смежные составляющие имеют в стыковых точках общие касательные, то составная линия называется обводом первого порядка гладкости. Составная линия представляет собой обвод второго порядка гладкости, если график изменения кривизны по ее длине будет непрерывным.

Рассмотрим один из способов построения обводов - радиусографический.

Пример. Через упорядоченный массив точек Аⁱ(i=1,2...,n) необходимо провести обвод первого порядка гладкости, составленный из дуг окружностей (рис. 8.7).

Рис.8.7

Построение составляющих обвода основано на простых свойствах окружностей при построении их сопряжений. Первая составляющая m¹ однозначно определяется первыми тремя точками А¹,А²,А³. Центр О¹ дуги m¹ строится как точка пересечения перпендикуляров р¹,р², восстановленных из середин С¹,С² ее хорд - А¹А², А²А³.

Вторая и последующие составляющие m², m³ определяются двумя точками и касательной, построенной к предыдущей составляющей в стыковой точке. Центр О² второй составляющей m² определяется как точка пересечения прямой О¹А³, соединяющей центр О¹ предыдущей окружности со стыковой точкой А³, с перпендикуляром р³, восстановленным из середины С³ хорды А³А⁴. Аналогично строится все последующие составляющие m^j(j=1,2,...n-2).

Вопросы для самопроверки к лекции 8:

1. Как принято рассматривать кривую линию в начертательной геометрии?

2. Назовите основные понятия, характеризующие кривую линию.

3. Назовите проекционные свойства кривых линий.

4. Как может проецироваться окружность на плоскости проекций?

5. Что называется обводом?

 

ЛЕКЦИЯ 9

 

ПОВЕРХНОСТИ

Поверхности составляют обширное многообразие нелинейных фигур трехмерного пространства. Любое тело ограничивается своей поверхностью. Нет ни одной области деятельности человека, где бы он не сталкивался с поверхностями в виде материальных, физических моделей.

Инженерная деятельность связана непосредственно с конструированием, расчетом, изготовлением различных технических поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации конструирования, расчету и воспроизведению сложных технических поверхностей.

 

9.1. Основные понятия и определения

В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая в декартовой системе координат уравнением вида F(x,y,z)=0, где F(x,y,z) -многочлен n-й степени, или в форме какой либо трансцендентной функции. В первом случае поверхности называют алгебраическими, во втором - трансцендентными.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n -й степени, то поверхность считается n-го порядка. Любая произвольно расположенная плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет сама поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые).

Рис.9.1

В начертательной геометрии геометрические фигуры задаются графически, поэтому поверхность целесообразно рассматривать кинематически: как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующееся на основных элементарных геометрических понятиях, таких как точка и множество. Действительно, если принять, что положение движущейся в пространстве линии будет непрерывно меняться с течением времени t, и принять t за параметр, то поверхность можно рассматривать как непрерывное однопараметрическое множество линий. В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопара