История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-11-21 | 263 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
10. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
□ Пусть система, состоящая из одного вектора , линейно зависима. Докажем, что вектор .
Из определения линейно зависимой системы следует, что существует такое, что . Так как первый сомножитель в левой части не равен 0, то второй сомножитель должен быть нулевым вектором, т.е. .
Пусть, обратно, . Докажем, что система, состоящая из одного вектора , линейно зависима. Левую часть равенства можно записать в виде , следовательно, , т.е. существует такое, что . По определению линейно зависимой системы векторов система линейно зависима. ■
20. При n>1 система векторов линейно зависиматогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.
□ Пусть система векторов линейно зависима.Докажем, что один из ее векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.
По определению линейно зависимой системы векторов существуют числа , не все равные 0 одновременно, такие, что
.
Пусть для определенности , где к – одно из чисел 1, 2,...,n. Перенесем все слагаемые, кроме , из левой части равенства в правую и разделим обе части равенства на :
.
Следовательно, вектор есть линейная комбинация векторов .
Пусть теперь один из векторов системы , например, , является линейной комбинацией векторов . Докажем, что система векторов линейно зависима.
По условию .Перенесем в правую часть и поставим это слагаемое между и :
.
Таким образом, существуют такие числа , не все равные 0 одновременно, что выполняется векторное равенство
.
Следовательно, система векторов линейно зависима. ■
|
30. Если часть данной системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
□ Пусть дана система векторов и известно, что ее подсистема < n, линейно зависима. Тогда существуют такие числа , причем , что .
Тогда ,
т.е. нашлись числа , причем , следовательно, система линейно зависима. ■
40. Система линейно независимых векторов не содержит нулевого вектора.
□ Пусть система линейно независима. Предположим, что она содержит . По свойству 10система линейно зависима. Тогда по свойству 30 вся система линейно зависима. Получили противоречие с условием. ■
50. Если система векторов линейно независима, то любая ее часть линейно независима.
□ Предположим, что существует часть данной системы, являющаяся линейно зависимой. Тогда по свойству 30 вся данная система должна быть линейно зависимой. Получили противоречие с условием. ■
60. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда || .
□ Пусть система векторов линейно зависима. Тогда по свойству 20или , или . По теореме о коллинеарных векторах || .
Пусть || . Если один из векторов нулевой, например, , то по свойству 40 система , линейно зависима. Если , то по теореме о коллинеарных векторах . Так как , то система векторов линейно зависима. ■
Аналогично, пользуясь теоремой о компланарных векторах, можно доказать свойство
70. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
Базис. Координаты вектора
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!