Векторов к доказательству теорем — КиберПедия 

История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Векторов к доказательству теорем

2017-11-21 325
Векторов к доказательству теорем 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

 

1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

□ Пусть в . Докажем, что .

Запишем сначала векторное равенство для векторов, содержащих стороны , применив правило треугольника:

 

(рис. 13).

А
В
С
Рис. 13

 


 

Возведем это векторное равенство в скалярный квадрат: .

По следствию из свойства А30

.

Так как , то по свойству Г10 . Применив Г20, получаем:

.

Учитывая, что , , (т.е. длина вектора - это длина отрезка АВ), окончательно будем иметь:

. ■

2. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

□ Докажем, что (рис. 14).

Представим вектор в виде разности векторов двух других сторон:

.

А
В
С
Рис. 14

 

 


Возведем обе части этого векторного равенства в скалярный квадрат:

.

Далее воспользуемся следствием из свойства А30:

.

Учитывая, что , , и , получим:

,

откуда

. ■

Нелинейные операции над векторами

Понятие об ориентации пространства и плоскости

 

Пусть , , - базис трехмерного векторного пространства.

Рис. 16
Рис. 17
Базис , , называется правым (левым), если при взгляде на плоскость векторов и из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден как идущий против часовой стрелки (по часовой стрелке). На рис. 16 изображен правый базис, на рис. 17 – левый.

 

 

Можно дать и другие определения правого и левого базиса, например, такое: базис , , называется правым (левым), если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так же, как расставлены (примерно под прямым углом) пальцы правой (левой) руки: большой палец – по первому вектору , указательный – по , средний – по .

Мы будем пользоваться в дальнейшем первым определением.

Если два базиса правые (или левые), то говорят, что они одинаково ориентированы или имеют одинаковую ориентацию. Если один базис правый, а другой – левый, то говорят, что они противоположно ориентированы или имеют противоположную ориентацию.

Множество всех правых (всех левых) базисов в пространстве V называется правой (левой) ориентацией векторного пространства V.

Таким образом, в векторном пространстве ориентацию можно задать двумя способами: правую и левую. Векторное пространство, в котором выбрана ориентация, называется ориентированным. Как только в пространстве мы зададим базис, так сразу оно становится ориентированным.

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, когда в пространстве выбран базис, будем считать, что он является правым.

Аналогично можно ввести понятие ориентированной плоскости. При этом базис , на плоскости называется правым (левым), если кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки (по часовой стрелке).

 


Поделиться с друзьями:

Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...

История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...

История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.007 с.