Понятие распределения и гистограммы

В статистике под рядом распределения понимают распределение частот по вариантам. Измеренные величины признака в выборке варьируют в пределах от минимального до максимального значения. Этот предел разбивают на так называемые классовые интервалы, которые, в зависимости от конкретных данных, могут быть как равными по величине, так и неравными.

Если по оси абсцисс — ОХ откладывать величины классовых интервалов, а по оси ординат — OY величины частот, попадающих в данный классовый интервал, то получается так называемая гистограмма распределения частот. При этом над каждым классовым интервалом строится колонка или прямоугольник, площадь которого оказывается пропорциональной соответствующей частоте. Гистограмма представляет собой графическое изображение данного частотного распределения.

Глава 4

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Для экспериментальных данных, полученных по выборке, можно вычислить ряд числовых характеристик (мер).

4.1. Мода

Числовой характеристикой выборки, как правило, не требующей вычислений, является так называемая мода. Мода — это такое числовое значение, которое встречается в выборке наибо­лее часто. Мода обозначается иногда как X.

Так, например, в ряду значений (2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10) модой является 9, потому что 9 встречается чаще любого другого числа. Обратите внимание, что мода представляет собой наиболее часто встречающееся значение (в данном примере это 9), а не частоту встречаемости этого значения (в данном примере равную 3).

Моду находят согласно следующим правилам:

1) В том случае, когда все значения в выборке встречаются одинаково часто, принято считать, что этот выборочный ряд не имеет моды. Например: 5, 5, 6, 6, 7, 7 — в этой выборке моды нет.

2) Когда два соседних (смежных) значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих двух значений.

Например, в выборке 1, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 6 частоты рядом расположенных значений 2 и 5 совпадают и равняются 3. Эта частота больше, чем частота других значений 1 и 6 (у которых она равна 1).

Следовательно, модой этого ряда будет величина (2+5)/2=3,5

3) Если два несмежных (не соседних) значения в выборке имеют равные частоты, которые больше частот любого другого значения, то выделяют две моды. Например, в ряду 10, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 14, 17 модами являются значения 11 и 14. В таком случае говорят, что выборка является бимодальной.

Могут существовать и так называемые мультимодальные распределения, имеющие более двух вершин (мод).

4) Если мода оценивается по множеству сгруппированных данных, то для нахождения моды необходимо определить группу с наибольшей частотой признака. Эта группа называется модальной группой.

Медиана

Медиана — обозначается X (X с волной или Md) и определяется как величина, по отношению к которой, по крайней мере, 50% выборочных значений меньше неё и, по крайней мере, 50% — больше. Можно дать второе определение, сказав, что медиана — это значение, которое делит упорядоченное множество данных пополам.

Задача 4.1. Найдем медиану выборки: 9, 3, 5, 8, 4, 11, 13.

Решение. Сначала упорядочим выборку по величинам входящих в нее значений. Получим: 3, 4, 5, 8, 9, 11, 13. Поскольку в выборке семь элементов, четвертый по порядку элемент будет иметь значение большее, чем первые три, и меньшее, чем последние три. Таким образом, медианой будет четвертый элемент — 8.

Задача 4.2. Найдем медиану выборки: 20, 9, 13, 1, 4, 11.

Упорядочим выборку: 1, 4, 9, 11, 13, 20. Поскольку здесь имеется четное число элементов, то существует две «середины» — 9 и 13. В этом случае медиана определяется как среднее арифметическое этих значений.

Md= (9+11)/2=10

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое ряда из п числовых значений X₁ X₂ ...X_n обозначается X и подсчитывается как:

Здесь величины 1, 2...и являются так называемыми индексами. В том случае, если отдельные значения выборки повторяются, среднюю арифметическую вычисляют по формуле:

X в таком случае называют взвешенной средней, где f_i — частоты повторяющихся значений.

Знак Σ является символом операции суммирования. Он означает, что все значения X_t должны быть просуммированы. Числа, стоящие над и под знаком Σ называются пределами суммирования и указывают наибольшее и наименьшее значения индекса суммирования, между которыми расположены его промежуточные значения.

Например, в формуле (4.1) суммирование начинается с первого элемента выборки, поэтому и пишется так: ι = 1, и заканчивается последним, поэтому наверху символа суммирования Σ стоит величина п.

Если же мы запишем так:

то, поскольку нижний индекс суммирования i равен 4, а верхний равен 6, то будут просуммированы следующие элементы ряда Х₄, Х₅ и Х₆, и в результате будет получено: Х₄ + Х₅ + Х₆. Или, если будет написано следующее выражение:

то, поскольку нижний индекс суммирования ι равен 1, а верхний равен 3, то будут просуммированы следующие элементы ряда X₁, Х₂ и Х₃, и в итоге будет получено: Х₁ + Х₂ + Х₃

В дальнейшем мы будем пользоваться сокращением, которое состоит в том, что если производится суммирование всех элементов выборки от первого до последнего, то верхний и нижний пределы суммирования указываться не будут, а пишется просто: ΣΧ или ΣΧ_i

При вычислении величины средней по таблице чисел в дальнейшем будет использоваться следующая формула:

где х_ji — значения всех переменых, полученных в эксперименте, или все элементы таблицы;

при этом индекс j меняется от 1 до р, где р число столбцов в таблице, а индекс i меняется от 1 до n, где п — число испытуемых или число строк в таблице.

Тогда X — общая средняя всей анализируемой совокупности данных; N — общее число всех элементов в таблице (анализируемой совокупности экспериментальных данных) и в общем случае N = р ·п.

Символическое обозначение х _ij очень удобно. Например, пусть перед нами стоит задача — указать конкретный элемент нашей таблицы. Для этого мы должны знать номер столбца, например 4, и номер строки (или порядковый номер испытуемого), например 5. Тогда его обозначение будет таково: х₅₄. Это значит, что выбран пятый элемент в строчке из четвертого столбца.

Символ ΣΣ (двойная сумма) означает, что вначале осуществляется суммирование всех элементов таблицы по индексу i — т.е. по строкам, затем полученные суммы по строчкам складываются по столбцам, или, иначе говоря, по индексу j.

Следует подчеркнуть, что средние величины характеризуют выборку одним (средним) числом. Преимущество, или иначе, информативная значимость, средних величин заключается в их способности аккумулировать или уравновешивать все индивидуальные отклонения, в результате чего проявляется то наиболее устойчивое и типичное, что характеризует качественное своеобразие варьирующего объекта, позволяя отличить одну выборку от другой, а на этой основе, например, одно измеренное психологическое свойство от другого.

Однако среднее как статистический показатель не лишено недостатков. Так, например, при вычислении среднего количества ошибок при выполнении корректурной пробы может быть получена величина равная 1,3 ошибки или при определении среднего числа учеников, обучающихся в пятых классах данной школы, может быть получена величина равная 30,07. Конечно, с точки зрения статистика эти величины обычны, но для психо­логических задач они могут быть неприемлемы.

Кроме того, среднее оказывается достаточно чувствительным к очень маленьким или очень большим величинам, отличающимся от основных значений измеренных характеристик.

Приведем пример из книги Дж. Б. Мангейма и Ричарда К. Рича: «Политология. Методы исследования» М., 1997 г. «Пусть 9 человек имеют доход от 4500 до 5200 тыс. долларов в месяц. Величина их среднего дохода равняется 4900 долларов. Если же к этой группе добавить человека, имеющего доход в 20000 тыс. долларов в месяц, то средняя всей группы сместится и окажется равной 6410 долларов, хотя никто из всей выборки (кроме одного человека) реально не получает такой суммы. Понятно, что аналогичное смещение, но в противоположную сторону можно получить и в том случае, если добавить в эту группу человека с очень маленьким годовым доходом».

Важно подчеркнуть, что подобные крайние величины, т.е. те, которые существенно искажают величину средней, оказываются в то же время и наименее характерными для изучаемой генеральной совокупности. Именно поэтому в статистике, кроме средней величины, используются и другие характеристики «типичных значений» выборки, такие, как мода, медиана и ряд других характеристик.

КВАНТИЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Помимо мер центральной тенденции в психологии широко используются меры положения, которые называются квантилями распределения. Квантиль — это точка на числовой оси измеренного признака, которая делит всю совокупность упорядоченных измерений на две группы с известным соотношением их численности. С одним из квантилей мы уже знакомы — это медиана. Это значение признака, которое делит всю совокупность измерений на две группы с равной численностью. Кроме медианы часто используются процентили и квартили.

Процентили (Percentiles) — это 99 точек — значений признака (Р₁,..., Р₉₉), которые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 100 частей, равных по численности. Определение конкретного значения процентиля аналогично определению медианы. Например, при определении 10-го процентиля, P₁₀, сначала все значения признака упорядочиваются по возрастанию. Затем отсчитывается 10% испытуемых, имеющих наименьшую выраженность признака. P₁₀ будет соответствовать тому значению признака, который отделяет эти 10% испытуемых от остальных 90%.

Квартили (Quartiles) — это 3 точки — значения признака (Р₂₅, Р₅₀, Р₇₅), которые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 4 равные по численности части. Первый квартиль соответствует 25-му процентилю, второй — 50-му процентилю или медиане, третий квартиль соответствует 75-му процентилю.

Процентили и квартили используются для определения частоты встречаемости тех или иных значений (или интервалов) измеренного признака или для выделения подгрупп и отдельных испытуемых, наиболее типичных или нетипичных для данного множества наблюдений.

Разброс выборки

Разброс (иногда эту величину называют размахом) выборки обозначается буквой R. Это самый простой показатель, который можно получить для выборки — разность между максимальной и минимальной величинами данного конкретного вариационного ряда, т.е.

R = X_тах — Х_min

Понятно, что чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот.

Однако может случиться так, что у двух выборочных рядов и средние, и размах совпадают, однако характер варьирования этих рядов будет различный. Например, даны две выборки:

X = 10 15 20 25 30 35 40 45 50 X = 30 R = 40

Y = 10 28 28 30 30 30 32 32 50 Y = 30 R = 40

При равенстве средних и разбросов для этих двух выборочных рядов характер их варьирования различен. Для того чтобы более четко представлять характер варьирования выборок, следует обратиться к их распределениям.

Дисперсия

Рассмотрим еще одну очень важную числовую характеристику выборки, называемую дисперсией. Дисперсия представляет собой наиболее часто использующуюся меру рассеяния случайной величины (переменной). Дисперсия это среднее арифметическое квадратов отклонений значений переменной от её среднего значения.

где п — объем выборки

j _— индекс суммирования

X — среднее, вычисляемое по формуле (4.1).

Вычислим дисперсию следующего ряда

2 4 6 8 10 (4.5)

Прежде всего, найдем среднее ряда (4.5). Оно равно X = 6.

Рассмотрим величины: (X_t — X) для каждого элемента ряда. Иными словами, из хаждого элемента ряда 4.5 вычтем величину среднего этого ряда. Полученные величины характеризуют то, насколько каждый элемент отклоняется от средней величины в данном ряду. Обозначим полученную совокупность разностей как множество Т. Тогда Т есть:

Т= (2 - 6 = -4; 4 — б = -2; 6 - 6 = 0; 8 - 6 = 2; 10 - 6 = 4).

Так образуется новый ряд чисел. Его особенность в том, что при сложении этих чисел обязательно получится ноль. Проверим:

(-4) + (-2) + 0 + 2 + 4 = 0.

Отметим, что сумма такого ряда Σ (Х_ι — X) всегда будет равна нулю.

Для того чтобы избавиться от нуля, каждое значение разности (X_t — X) возводят в квадрат, все их суммируют и затем делят на число элементов, т.е. применяют формулу 4.4. В нашем примере получится следующее:

Это и есть искомая дисперсия

Общий алгоритм вычисления дисперсии для одной выборки следующий:

1. Вычисляется среднее по выборке.

2. Для каждого элемента выборки вычисляется его отклонений от средней, т.е. получается множество Т.

3. Каждый элемент множества T возводят в квадрат.

4. Находится сумма этих квадратов.

5. Эта сумма, как и в случае вычисления среднего, делится на общее количество членов ряда — п. В ряде случаев, особенно когда величина выбоки мала, деление осуществляется не на величину п, а на величину п — 1.

Величина, получающаяся после пятого шага, и есть искомая дисперсия.

Расчет дисперсии для таблицы чисел осуществляется по формуле 4.6:

где х_i — значения всех переменых, полученных в эксперименте, или все элементы таблицы;

индекс j меняется от 1 до р, где р число столбцов в таблице, а индекс i меняется от 1 до n, где п — число испытуемых или число строк в таблице.

X — общая средняя всех элементов таблицы, вычисленная по формуле 4.3;

Ν — общее число всех элементов в таблице (анализируемой совокупности экспериментальных данных) и в общем случае N = р ∙ п.

Дисперсию для генеральной совокупности принято обозначать как σ², а дисперсию выборки как S_x ², причем индекс х обозначает, что дисперсия характеризует варьирование числовых значений признака вокруг их средней арифметической.

Преимущество дисперсии перед размахом в том, что дисперсию можно представить как сумму ряда чисел (согласно ее определению), т.е. разложить на составные компоненты, позволяя тем самым более подробно охарактеризовать исходную выборку. Важная характеристика дисперсии заключается также и в том, что с её помощью можно сравнивать выборки, различные по объему.

Однако сама дисперсия, как характеристика отклонения от среднего, часто неудобна для интерпретации. Так, например, предположим, что в эксперименте измерялся рост в сантиметрах, тогда размерность дисперсии будет являться характеристикой площади, а не линейного размера (поскольку при подсчете дисперсии сантиметр возводится в квадрат).

Для того чтобы приблизить размерность дисперсии к размерности измеряемого признака применяют операцию извлечения квадратного корня из дисперсии. Полученную величину называют стандартным отклонением.

Из суммы квадратов, деленных на число членов ряда извлекается квадратный корень.

Другими словами, стандартное отклонение выборки S_x представляет собой корень квадратный, извлеченный из дисперсии выборки S_x² Стандартное отклонение для генеральной совокупности обозначают также символом σ. Подчеркнем еще раз, что размерность стандартного отклонения и размерность исходного ряда совпадают. В нашем примере

Свойства дисперсии:

1.Если значения измеренного признака не отличаются друг от друга (равны между собой) — дисперсия равна нулю. Это соответствует отсутствию изменчивости в данных.

2.Прибавление одного и того же числа к каждому значению переменной не меняет дисперсию:

Рис. 4.1. Графики распределения частот: с разной дисперсией (D₁<D₂, одинаковой дисперсией (D₂= D₃) и разными средними арифметическими (М₂<М₃)

Прибавление константы к каждому значению переменной сдвигает график распределения этой переменной на эту константу (меняется среднее), но изменчивость (дисперсия) при этом остается неизменной.

3. Умножение каждого значения переменной на константу с изменяет дисперсию в с² раз:

При объединении двух выборок с одинаковой дисперсией, но с разными средними значениями дисперсия увеличивается.

Пример

Если одна группа содержит значения: 1,1,1,1,1, а другая группа —значения 3,3, 3, 3, 3, то дисперсии этих групп одинаковы и равны 0. Если же объединить эти две группы, то дисперсия будет равна не 0, а 1.

Вообще говоря, справедливо утверждение: при объединении двух групп к внутригрупповой дисперсии каждой группы добавляется дисперсия, обусловленная различием между группами (их средними). И чем больше различие между средними значениями, тем больше увеличивается дисперсия объединенных групп.

Стандартизация или z-преобразование данных — это перевод измерений в стандартную Z-шкалу (Z-scores) со средним М_г = 0 и D_z (или а_г) = 1. Сначала для переменной, измеренной на выборке, вычисляют среднее М_х стандартное отклонение а_х. Затем все значения переменной х, пересчитываются по формуле:

В результате преобразованные значения (z-значения) непосредственно выражаются в единицах стандартного отклонения от среднего. Если для одной выборки несколько признаков переведены в z-значения, появляется возможность сравнения уровня выраженности разных признаков у того или иного испытуемого. Для того чтобы избавиться от неизбежных отрицательных и дробных значений, можно перейти к любой другой известной шкале: IQ (среднее 100, сигма 15); Т-оценок (среднее 50, сигма 10); 10-балльной — стенов (среднее 5,5, сигма 2) и др. Перевод в новую шкалу осуществляется путем умножения каждого z -значения на заданную сигму и прибавления среднего:

Асимметрия (Skewness) — степень отклонения графика распределения частот от симметричного вида относительно среднего значения. Если исходные данные переведены в z-значения, показатель асимметрии вычисляется по формуле:

Для симметричного распределения асимметрия равна 0. Если чаще встречаются значения меньше среднего, то говорят о левосторонней, или положительной асимметрии (As > 0). Если же чаще встречаются значения больше среднего, то асимметрия — правосторонняя, или отрицательная (As<0). Чем больше отклонение от нуля, тем больше асимметрия.

Эксцесс (Kurtosis) — мера плосковершинности или остроконечности графика распределения измеренного признака. Если исходные данные переведены в z-значения, показатель эксцесса определяется формулой:

Островершинное распределение характеризуется положительным эксцессом (Ех> 0), а плосковершинное — отрицательным (-3 < Ех< 0). «Средневер-шинное» (нормальное) распределение имеет нулевой эксцесс (Ех = 0).

Степень свободы

Число степеней свободы это число свободно варьирующих единиц в составе выборки. Так, если вся выборка состоит из п элементов и характеризуется средней X, то любой элемент этой совокупности может быть получен как разность между величиной n • X и суммой всех остальных элементов, кроме самого этого элемента.

Пример. Рассмотрим ряд 4.5: 2 4 6 8 10. Мы помним, что средняя этого ряда равна 6. В этом ряду 5 чисел, следовательно, N = 5. Предположим, что мы хотим получить последний элемент ряда 4.5 — 10, зная все предыдущие элементы и среднее этого ряда. Тогда:

5-6-2-4-6-8 = 10

Предположим, что мы хотим получить первый элемент ряда 4.5 - 2, зная все последующие элементы и среднее этого ряда. Тогда:

5-6-4-6-8- 10 = 2 и т.д.

Следовательно, один элемент выборки не имеет свободы вариации и всегда может быть выражен через другие элементы и среднее. Это означает, что число степеней свободы у выборочного ряда обозначаемое в таких случаях символом k будет определяться как k = п – 1, где п — общее число элементов ряда (выборки).

При наличии не одного, а нескольких ограничений свободы вариации, число степеней свободы, обозначаемое как ν (греческая буква ню) будет равно

ν = п - k, где k соответствует числу ограничений свободы вариации.

В общем случае для таблицы экспериментальных данных число степеней свободы будет определяться по следующей формуле:

ν = (с - 1) · (n - 1) (4.8)

где с — число столбцов, а n – число строк (число испытуемых).

Следует подчеркнуть, однако, что для ряда статистических методов расчет числа степеней свободы имеет свою специфику.