Изучениелиний, точекиплоскостныхфигур

Линия. Согласно математическому энциклопедическому словарю «линия (от лат. linea— льняная нить, линия, черта) — геометриче­ское понятие, точное и в тоже время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно». Линию понимают как общую часть двух смежных областей поверхности, как границу по­верхности, как траекторию или результат движения точки. Каждый из этих смыслов понятия линии должен быть представлен в обуче­нии, а начать разговор о линиях можно с любого из них, например, с последнего. Основными видами соответствующих заданий являются задания: • на выявление имеющихся представлений о ли­ниях; • представление замкнутых и не замкнутых линий; • поня­тия внутренние, внешние области, линии как границы областей; • понятия прямая, кривая, ломаная, отрезок, луч, линейный угол, окружность;• построение линий.

Приведем возможные виды заданий для учащихся при изучении линий.

Рис. 9.3

Задания. • 1. Рассмотрилинии (нарисункепредставленывсепере­численныевидылиний). Пометьлинии, названиякоторыхтызнаешь, первойзаглавнойбуквойэтогоназвания. Выпишиномералиний, на­званиякоторыхтынезнаешь. Придумайдлянихназвания. Приобсуж­дениисравниихсобщепринятыми. • 2. Какиеизизображенныхлиний тыбыназвалзамкнутыми, акакиенезамкнутыми? Продолжиодну изнезамкнутыхлинийтак, чтобыонасталазамкнутой; чтобыданная точкаоказаласьвовнутреннейобласти; вовнешнейобласти, награнице областей. • 3. Поставьточку А вовнутреннейобласти, аточку В вовнеш­нейобласти, границейкоторыхслужитданнаялиния. • 4. Распредели данныелинии (изображенывсеосновныевидылиний) погруппам. • 5. Раскрасьобластитак, чтобысоседниебылиразногоцвета. Раскрась областиминимальнымколичествомцветов, соседниеобластибылираз­ныхцветов (рис. 9.3). • 6. Линиюкаждоговидасоединитесназванием (нарисункеслевавпроизвольномпорядкеизображены прямая, кривая, ломаная, отрезок, луч, линейныйугол, окружность, асправанаписаны такжевпроизвольномпорядкеназванныетермины).• 7. Информацию очемможнопередатьспомощьюотрезка? • 8. Данамодельправиль­нойшестиугольнойпризмы. Какимиотрезками, какимимногоугольни­камиможнопередатьинформациюобэтомгеометрическомтеле? На­чертиэтиотрезки, предварительноизмеривихдлины. Начертиуглы, характеризующиеформупризмы. Начертимногоугольникикак«след» налистебумаги. (Обводятсяконтурыоснования—уголшестиуголь­никаиуголбоковойграни—прямойугол, правильныйшестиуголь­ник, контурыбоковойграни—прямоугольник). Измерьдлинысторон многоугольников, найдиихсумму. Какимтерминомобозначаюттакие суммы? • 9. Средиданныхлинийнайдизамкнутые, средизамкнутых найдимногоугольникиинемногоугольники; срединемногоугольников найдиокружностиинеокружности. Чемтаквыделенныеокружности инеокружностипохожиичемотличаются? • 10. Данызамкнутыели­нииразнойформыиизображениягеометрическихтелипредметов. Каждомугеометрическомутелуипредметуподобратьлинию, которая отражаетегоформу. Выборобосновать.

При изучении линий нужно обращаться к произведениям декора­тивно-прикладного искусства, к произведениям живописи, к фото­графиям объектов архитектуры, к картам и планам местности

Плоскостные фигуры. Понятие «плоскостные фигуры» тесно связаны с понятием «поверхность» и «плоскость». Поэтому начинать

их изучение можно с рассмотрения поверхностей реальных пред­метов, с выделения самых распространенных форм поверхностей в окружающем нас пространстве. Обнаруживается, что в творениях рук человеческих наиболее часто встречаются поверхности, форма которых выражается прямоугольниками с неравными сторонами, квадратами, кругами, несколько реже — треугольниками. Это фор­мы поверхностей мебели, стен, крыш, книг, поверхности бытовой техники.

Источником новых форм и соответственно новых геометрических фигур может быть составление фигур из других и разрезание на ча­сти (самым известным примером является игра «Танграмм»). При таком составлении и разрезании обнаруживается, что в основе всех многоугольников лежит треугольник: любой многоугольник можно составить из треугольников и любой многоугольник можно разре­зать на треугольники. Но тогда и свойства любых многоугольников в определенной мере можно характеризовать через свойства состав­ляющих треугольников. Поэтому И.Ф. Шарыгин, автор учебников и многих книг по обучению геометрии, однажды сказал на семинаре с учителями, что как при обучении литературе суть всего произведе­ния можно «вытащить» через деталь (Е. Ильин), так и всю геометрию можно «вытащить» через треугольники, круги и их свойства, в том числе, свойства взаимного расположения (вписанные, описанные окружности и круги).

При изучении геометрических фигур полезно поработать с на­званиями фигур: как образованы слова — названия фигур, почему для прямоугольников с равными сторонами кроме названия «пря­моугольник с равными сторонами» был изобретено и «прижилось» еще и короткое название «квадрат» (которое, пожалуй, затмило по частоте употребления и слово «прямоугольник»), а вот для пря­моугольников с неравными сторонами короткого названия нет; по­чему граница круга имеет свое собственное имя — «окружность», а ни один многоугольник этим похвастать не может (квадрат, треу­гольник — это и части плоскости и границы соответствующих частей плоскости, замкнутые ломаные линии). А почему ломаную линию так назвали?

Степень полноты представления информации о плоскостных фи­гурах в разных ученых комплектах различная. В одних ограничива­ются общим представлением и несколькими свойствами, выделяю­щими эту фигуру из других, например, для прямоугольника такими как равенство противоположных сторон прямоугольника, все углы прямые. В других рассматривают многие другие свойства: симметрич­ность — наличие или отсутствие центров и осей симметрии, виды прямоугольников, виды треугольников, важные линии фигур — диа­гонали, высоты, медианы, биссектрисы. Общим для всех является то, что гипотезы о любом свойстве высказывается на основе экспери­ментирования с бумажными моделями геометрических фигур.

Точка. Точке, как геометрической фигуре, обычно уделяется мало внимания. Ну что ее рассматривать?! Ведь ухватиться не за что! Ни тебе длины, ни ширины, ни высоты. Вообще — ничего! Но, можно ли без нее обойтись? Оказывается — нет. Без изобретения точки как обозначения отсутствия любых признаков, оказывается, не было бы и геометрии. Точку можно сравнить с нулем в арифме­тике, который хоть и «не значит ничегошеньки», а попробуй-ка без него! Так и точка. Мало того, что геометрия без точек не состоя­лась бы, так еще и физика, и химия, и биология не состоялись бы! Это решетки в квантовой физике, модели молекул в химии, модели генов в биологии. Да и в русском языке, и в психологии без точек не обходится. А в изобразительном искусстве? Поэтому в начальной школе нужен такой урок, или уроки, на котором бы воспели славу точке, да и все другие фигуры достойны того, чтобы им посвятили специальные «уроки славы».

Важную информацию о свойствах фигур, а, значит, и соответ­ствующих формах реальных предметов несут измерения, отношения результатов измерений (см. гл. 6).

9.2.3. объемныегеометрическиефигуры вматематическомобразованиимладших школьников

Долгое время в начальной школе геометрические тела не рас­сматривались. Причиной тому был принятый в ходе реформ конца 60-х — начала 70-х годов ХХ в. подход, согласно которому в обуче­нии нужно было следовать той последовательности рассмотрения понятий, в которой они представлены в соответствующей теории. Евклидова геометрия, основы которой только и изучаются в школе, строится, как известно, на аксиомах, которые постулируют понятия точки, линии, прямой и их отношения как неопределяемые, а затем определяются вначале линейные и плоскостные фигуры (в нашей терминологии) и лишь после представления этих фигур переходят к рассмотрению объемных тел. Поэтому не только в начальной шко­ле, но и в средних классах (с 5 по 8-й (9-й)) ограничивались плани­метрией — геометрией плоскости.

Такое построение геометрического образования приводило к тому, что для большинства учащихся стереометрия была почти недоступ­ной. Богатейший запас пространственных представлений, получен­ный естественным образом в дошкольном возрасте, утрачивался, и возродить его или сформировать новый удавалось не каждому.

В настоящее время важность и необходимость рассмотрения гео­метрических фигур всех уровней признана всеми. Из геометрических тел во всех учебниках представлен параллелепипед и его вид — куб. Во многих учебниках дан цилиндр, шар, конус, пирамида. Степень детализации сведений об этих фигурах в разных учебниках различная.

Успешность формирования соответствующих представлений суще­ственно зависит от характера деятельности учащихся при изучении этих фигур, обеспечение связи с соответствующими фигурами других уровней. Большими возможностями в повышении качества и глуби­ны представлений об основных геометрических телах обладают уроки технологии, художественного труда, изобразительного искусства. Тре­бования ФГОС НОО ориентируют учителя на интеграцию предметов, комплексность и целостность формируемых представлений о мире, поэтому интеграция названных учебных предметов при изучении гео­метрических тел. Приведем в дополнение к представленным в п. 9.1.1 примеры заданий и видов работы, которые может использовать учи­тель для достижения требуемых результатов изучения названных гео­метрических тел, включая личностные и метапредметные.

Задания. • 1. Формукакихпредметовможноописатьспомощью каждойизэтихобъемныхфигур? (Нарисункеилиматериальными моделямипредставленывсеилинекоторыегеометрическиетела.)

• 2. Чемпохожипризмаицилиндр? Каксвязаныпрямоугольникици­линдр? Чемпохожикубишар? Каксвязаныквадратишар? Накакое теловращенияпохожапирамида? • 3. Какимиплоскимиилинейными фигурамиможнохарактеризоватьпризму, параллелепипед, куб, пира­миду, шар, цилиндр, конус? • 4. Слепиизпластилинавсеизвестные тебегеометрическиетела. Укакихтелестьоснования? Какуюформу имеютоснования? Укакихфигурестьбоковаяповерхность? Какуюфор­муонаимеет? Покажибоковуюповерхность. Покажибоковыеграни утехфигур, укоторыхониесть. • 5. (Заданиевыполняетсявгруппе.) Какуюформуможетиметьформасреза (сечения) каждогогеометри­ческоготела? Проверьтеправильностьсвоихпредположений, сделав соответствующиесрезы (наодинаковыхфигурахкаждогоучастника делаютпо-разномурасположенныесрезы). • 6. Поставьпередсобой призму (параллелепипед, куб, конус, пирамиду, шар) инарисуйто, что видишь. Сравнисданнымизображением (показываетсярисуноксизо­бражениемпунктиромневидимыхлиний). Чтоизображенопунктирны­милиниями. • 7. Нарисункеданыизображенияизвестныхтебегеоме­трическихтелсдвухточекзрения. Длякаждогоизображениявыбери соответствующиегеометрическиетела. Обоснуйсвойвыбор. (Напри­мер, дватреугольника—видснизуивидсбокутреугольнойпирами­ды, кругитреугольник—видконуса, двакруга—изображенияконуса, двапрямоугольника—изображенияпараллелепипедаит. п.) • 8. Даны разверткипризмы, куба, пирамиды, цилиндраконуса. Изготовьизних моделигеометрическихтел. Рассмотриизображенияразверток, не­которыеизнихсделаныправильно, некоторыенеправильно. Выбери правильныеразвертки. Поясни, почемуоставшиесяразвертки—непра­вильные. Достройразверткукуба (параллелепипеда, призмы, …). Для какихизвестныхтебегеометрическихтелразверткусделатьнельзя?

• 9. Укакихгеометрическихтелестьграни? Сколькогранейукаждого

Рис. 9.4

названноготобойтела? Какойониформы? Укакихгеометрическихтел естьребра? Сколькоихуназванныхтобой? • 10. Машасосчиталаре­брапараллелепипедатак: каждаяграньимеетчетыреребра, аграней шесть, значитвсего— 24 ребра. АМишавзялмодельпараллелепипеда исосчиталребранамодели. Унегополучилось 12. Ктоправ? Какпо­лучилсяошибочныйответ? • 11. «Изготовьте»воздушнуюмодельгео­метрическоготела (призмы, параллелепипеда, …). Дляэтоговначале «поставьтевоображаемуюмодельнаоднуладонь, авторойладонью проведитеповсейвоображаемойповерхностипредставляемогогео­метрическоготелатак, чтобыодноклассникиузналиего. • 12. Парал­лелепипед, укоторогодлинаоснования 3 см, ширина 2 см, авысота 4 см, нужнооклеитьцветнойбумагой. Каксделатьцельнуювыкройку изпрямоугольноголистабумагидляоклеивания? Внимательнорассмо­трикаждыйрисунок. Установисвойкубикпоследовательновположе­ния, соответствующеекаждомуизображению (рис. 9.4). • 13. Чиполлино нарисовалдляпанаТыквыпроект—видсразныхсторондомика, око­торомтоттакмечтал. НоВишенка, посмотревнарисунки, поняла, что Чиполлиноувлексяиизобразилнеодин, адваразныхдомика. (Детям предлагаетсярисуноксшестьюизображениями—потринакаждыйдо­мик.) Найдипотрикартинкисизображениемодногоитогожедомика сразныхсторон. • 14. Какуютеньможетиметькаждоегеометрическое тело? • 15. Представьформукаждогогеометрическоготела: а) спомо­щьюобъемногоизображения; б) плоскихизображений; в) линий. От­личаютсялипоследниедваизображения? Ответобоснуй.

Особую группу заданий при рассмотрении объемных геометриче­ских фигур составляют задания на измерение и вычисление значений соответствующих величин (см. гл. 6).