Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-11-27 | 3419 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности:
ut = a 2 uxx
при граничных условиях:
u | x =0 = 0; u | x = l = 0,
и при начальном условии:
u | t =0 = j (x),
где j (x) – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в ноль при x = 0 и x = l.
Будем решать эту задачу методом Фурье. Согласно методу Фурье ищем сначала частные решения уравнения в виде произведения двух функций:
u (x, t) = X (x)× T (t).
Подставляя u (x, t) в исходное уравнение, имеем:
X (x)× T' (t) = a 2 T (t) X'' (x).
Разделяем переменные:
получаем два уравнения:
T' (t) + a 2 lT (t) = 0,
X'' (x) + lX (x) = 0.
Чтобы получить нетривиальное решение уравнения в виде произведения двух функций, удовлетворяющее граничным условиям, необходимо найти нетривиальное решение уравнения:
X'' (x) + lX (x) = 0,
удовлетворяющего граничным условиям:
X (0) = 0; X (l) = 0.
Таким образом, для определения функций X (x) мы приходим к задаче о собственных значениях, т.е. приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра l, при которых существует нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям.
Те значения l, при которых задача имеет нетривиальные решения, называются собственными числами, а сами эти решения – собственными функциями.
Задача нахождения собственных чисел и собственных функций называется задачей Штурма-Лиувилля.
Решение уравнения:
.
удовлетворяющего граничным условиям:
X (0) = 0; X (l) = 0.
мы с Вами уже находили, когда рассматривали метод Фурье для уравнения колебаний струны.
Это решение имело следующий вид:
Далее, как и раньше подставляем граничные условия:
=> => C 1=0,
|
=> => C 2×sin ll =0.
Последнее равенство возможно при sin ll =0.
То есть при (k= ±1; ±2;….)
Итак, если , т.е. , то существуют решения уравнения теплопроводности, не равные тождественно нулю.
Решение, отвечающее некоторому фиксированному k обозначим через Xk (x). Оно имеет вид:
,
Рассмотрим теперь второе уравнение:
T '(t)+ a 2 lT (t)=0.
Это уравнение решается. Разделяем переменные
; ln T (t)=- a 2 l + C; ,
где Ak – произвольные постоянные. Итак, все функции вида:
удовлетворяют уравнению теплопроводности и граничным условиям при любых Ak =const. Составим ряд:
.
Требуя выполнение начального условия u | t =0= j (x), получим:
.
Написанный ряд представляет собой разложение заданной функции j (x) в ряд Фурье по синусам в промежутке (0, l). Коэффициенты Ak вычисляются по известной формуле:
.
Так как мы предположили, что функция j (x) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в ноль при x =0 и x = l, то ряд
с коэффициентами Ak равномерно и абсолютно сходится к j (x), что известно из теории тригонометрических рядов.
Итак, решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности выписывается следующим образом:
где
.
коэффициенты Фурье начальных данных.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!