Исследование электропроводности

МЕТАЛЛОВ И ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Цель работы: изучение и анализ температурных зависимостей электропроводности химически чистого металла – меди, сплава на основе меди – константана (58,8 % Cu, 1 – 2 % Mn) и полупроводникового материала – селена.

 

Теоретическое введение

 

В основе классической электронной теории лежит представление о металлах, как о системах, построенных из положительных атомных остовов – ионов, находящихся в среде свободных коллективизированных электронов. Согласно этой теории, электроны в металлах ведут себя как электронный газ, которому приписываются свойства идеального газа, то есть свободные электроны движутся хаотично со средней скоростью теплового движения и сталкиваются с ионами. При наложении внешнего электрического поля в металлическом проводнике кроме теплового движения электронов возникает их упорядоченное направленное движение (дрейф) со средней скоростью , то есть возникает электрический ток. Плотность тока в проводнике определяется выражением

 

, (1)

 

где e – заряд электрона; n – концентрация электронов, равная концентрации атомов; – среднее значение скорости дрейфа.

После преобразований эта формула приобретает вид

 

, (2)

 

где – средняя длина свободного пробега электронов (путь, пройденный электроном между двумя столкновениями); m ₀ – масса электрона; – средняя скорость теплового движения; γ – удельная проводимость (величина обратная удельному сопротивлению ); E – напряженность электрического поля.

Таким образом, плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля, то есть выражение (2) является аналитическим выражением закона Ома. Из выражения (2) следует, что величина удельного электрического сопротивления равна

 

. (3)

 

Классическая электронная теория объясняет существование электрического сопротивления металлов, законы Ома и Джоуля - Ленца. Однако в некоторых случаях эта теория приводит к выводам, находящимся в противоречии с опытом. Основной недостаток классической теории заключается в предположении о том, что электронный газ является невырожденной системой. В таких системах в каждом энергетическом состоянии может находиться любое число электронов, и все электроны проводимости принимают независимое участие в создании электрического тока. Квантовая теория основана на принципе Паули, согласно которому в каждом электрическом состоянии может находиться только один электрон. В процессе электропроводности принимают участие не все свободные электроны, а только небольшая часть их, имеющая энергию, близкую к энергии Ферми (фермиевские электроны). Такие системы называют вырожденными. В рамках квантовой теории выражение для удельной проводимости имеет вид

 

, (4)

 

где h – постоянная Планка.

Средняя длина свободного пробега электронов определяется выражением

 

, (5)

 

где k_упр – коэффициент упругой связи, которая стремится вернуть атом в положение равновесия; N – число атомов в единице объема; k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура.

После подстановки (5) в (4) получим, что удельное сопротивление металлов линейно увеличивается с температурой

 

. (6)

 

Как показывает эксперимент, линейная аппроксимация зависимости ρ (T), как правило, справедлива при температурах от комнатных до температур, близких к точке плавления. В области низких температур теория предсказывает степенную зависимость ρ ~ T ⁵, температурный интервал, в котором наблюдается резкая степенная зависимость, бывает очень небольшим.

Относительное изменение удельного сопротивления при изменении температуры на один градус называют температурным коэффициентом удельного сопротивления

 

. (7)

 

Положительный знак α_ρ соответствует случаю, когда удельное сопротивление возрастает при повышении температуры. У большинства металлов при комнатной температуре α_ρ = 0,004 К^-1.

В реальных металлах причинами рассеяния электронов являются не только тепловые колебания атомов в узлах кристаллической решетки, но и статические дефекты структуры. Отсюда вытекает правило Маттиссена об аддитивности удельного сопротивления

 

. (8)

 

То есть полное удельное сопротивление металла есть сумма удельного сопротивления, обусловленного рассеянием электронов на тепловых колебаниях атомов в узлах решетки, и остаточного удельного сопротивления, обусловленного рассеянием электронов на статических дефектах структуры. Рассеяние на дефектах не зависит от температуры, исключение составляют сверхпроводящие металлы, в которых сопротивление исчезает ниже некоторой критической температуры.

 

Наиболее существенный вклад в остаточное сопротивление вносит рассеяние на примесях, которые всегда присутствуют в реальном проводнике либо в виде загрязнения, либо в виде легирующего элемента. Следует заметить, что любая примесная добавка приводит к повышению ρ, даже если она обладает повышенной проводимостью по сравнению с основным металлом. Так, введение в медный проводник 0,01 ат. доли примеси серебра вызывает увеличение удельного сопротивления меди на 0,2 · 10 ^-8 Ом·м. Экспериментально установлено, что при малом содержании примесей удельное сопротивление возрастает пропорционально концентрации примесных атомов.

. Как и в случае металлов, полное удельное сопротивление сплава по правилу Маттиссена можно выразить в виде двух слагаемых

 

ρ_СПЛ = ρ_Т + ρ_ОСТ, (9)

 

где ρ_Т – сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на тепловых колебаниях решетки; ρ_ОСТ – добавочное (остаточное) сопротивление, связанное с рассеянием электронов на неоднородностях структуры сплава.

Специфика твердых растворов состоит в том, что ρ_ОСТ может во много раз превышать ρ_Т.

Для многих двухкомпонентных сплавов изменение ρ_ОСТ в зависимости от состава хорошо описывается параболической зависимостью вида

 

ρ_ОСТ = СХ_АХ_В = CХ_В (1 – Х_В), (10)

 

где С – константа, зависящая от природы сплава; Х_А и Х_В –концентрации компонентов А и В в сплаве.

Соотношение (10) получило название правила Курнакова- Нордгейма. Из него следует, что в бинарных твердых растворах А – В ρ_ОСТ увеличивается как при добавлении атомов В к металлу А, так и при добавлении атомов А к металлу В, причем это изменение характеризуется примерно симметричной кривой. Остаточное сопротивление достигает своего максимального значения при X_A = X_B = 0,5.

Отношение средней скорости дрейфа к напряженности электрического поля называют подвижностью носителей заряда μ

 

. (11)

 

В полупроводниках следует различать подвижность электронов μ_n и подвижность дырок μ_p. С учетом этого выражение (1) приобретает вид

 

J = eE (n ₀ μ_n + p ₀ μ_p), (12)

 

где n ₀ и p ₀ – равновесные концентрации электронов и дырок в полупроводнике, а удельная проводимость равна соответственно

 

γ = e (n ₀ μ_n + p ₀ μ_p). (13)

 

Таким образом, проводимость полупроводников решающим образом зависит от концентрации и подвижности носителей, которые, в свою очередь, зависят от температуры.

Анализ выражения (13) показывает, что зависимость удельной проводимости от температуры определяется двумя факторами: влиянием температуры на концентрацию носителей и на их подвижность. Оценим вклад каждого их этих компонентов.

Выражение для концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике имеет вид

 

n_i = p_i = (N_C · N_B)^1/2·exp(–Δ Э /2 kT), (14)

 

где N_C – эффективная плотность состояний в зоне проводимости, энергия которых приведена ко дну зоны проводимости; N_B – эффективная плотность состояний в валентной зоне, энергия которых приведена к потолку валентной зоны (Э_В); Δ Э – ширина запрещенной зоны.

Для графического изображения температурных зависимостей n_i и p_i выражение (14) удобно представить в виде:

 

ln n_i = ln p_i = ln (N_C · N_B)^1/2 – Δ Э /2 kT. (2.5)

Произведение N_C · N_B является слабой функцией от температуры, поэтому зависимость логарифма концентрации носителей от обратной температуры близка к линейной, причем наклон прямой характеризует ширину запрещенной зоны собственного полупроводника.

В примесных полупроводниках температурные зависимости равновесных концентраций носителей заряда имеют аналогичный вид. В полупроводнике n-типа концентрация электронов равна

 

ln n ₀ = ln (N_C · N_Д)^1/2 – Δ Э_Д /2 kT, (16)

 

где N_Д – эффективная плотность состояний на донорных уровнях; Δ Э_Д – энергия ионизации доноров.

В полупроводнике р -типа концентрация дырок

 

ln p ₀ = ln (N_B · N_A)^1\2 – Δ Э_A /2 kT, (17)

 

где N_A – эффективная плотность состояний на акцепторных уровнях; Δ Э_A – энергия ионизации акцепторов.

В полупроводниках подвижность носителей меняется при изменении температуры сравнительно слабо (по степенному закону: μ ~ T ^3/2 в области низких температур и μ ~ T ^-3/2 при повышенных температурах). В то же время, как следует из соотношений (14) – (17), концентрация носителей заряда зависит от температуры очень сильно (по экспоненциальному закону). Таким образом, температурная зависимость удельной проводимости как собственных, так и примесных полупроводников определяется в основном температурной зависимостью концентрации носителей. Поэтому качественный характер зависимости γ (Т) аналогичен зависимости n (T) и p (T).

проводимости полупроводника при различной концентрации примесей: N ₁< N ₂< N ₃

 

 

Ход работы

 

t, °С
Т, К
1/ Т, К–1	0,0054	0,0033	0,0031	0,003	0,003	0.0029	0.0028
Rмедь, Ом	2,2	2,2	2,2	2,2	2,2	2,4	2,7
ρмедь, Ом·м	1,79	1,79	1,79	1,79	1,79	1,9	2,2
Rконст., Ом	19,6	19,6	19,6	19,6	19,6	19,6	19,6
ρконст., Ом·м	2,5	2,5	2,5	2,5	2,5	2,5	2,5
Rселен, Ом	45,9	41,4	39,4	37.4	35.7	32,4	23,7
ρселен, Ом·м	27,5	24,8	23,6	22,7	21.4	19,4	17,2
γселен, Ом–1·м–1	0,036	0,04	0,042	0.044	0,077	0.652	0,05
ln γселен	-3,324	-3.325	-3,17	-3,124	-3,052	-2,957	-2,817

 

Вывод: изучал и анализировал температурные зависимости электропроводности химически чистого металла – меди, сплава на основе меди – константана (58,8 % Cu, 1 – 2 % Mn) и полупроводникового материала – селена.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5