Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-11-27 | 257 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Производная функции
Пусть функция у = f (х) определена на отрезке [ a, b ]. Возьмем произвольное значение . Придадим первоначальному значению х приращение Δ х, положительное или отрицательное, но такое, чтобы точка . Найдем приращение функции Δ у, отвечающее приращению аргумента Δх,
Составим разностное отношение приращения функции Δ у к соответствующему приращению аргумента Δ х
При фиксированном х это отношение является функцией от ,
Определение. Если при существует предел отношения , то это предел называется производной от функции у = f (х) в данной точке х и обозначается или , или .
Таким образом, по определению
(7.1)
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
Пример:
Найти производные следующих функций.
1. у = х 2.
В любой точке х для любого Δх имеем
По формуле (7.1) получим откуда
Но . Следовательно, функция у = х 2 имеет во всякой точке х производную у ΄ = 2 х, то есть (х 2)΄= 2 х.
2. у = ех.
В любой точке х для любого Δ х имеем
Отсюда
Геометрический смысл производной
Пусть f (x) непрерывная функция на в некоторой окрестности точки х 1. Рассмотрим две точки А (х 1; f (х 1) и В (х 1+Δ х; f (х 1+Δ х 1) графика этой функции (рис.7.1), через которые проходит прямая, заданная уравнением
, (7.2)
где х и у координаты текущей (переменной) точки прямой АВ. Преобразовав уравнение (7.2), получим
(7.3)
Уравнение (7.3) является уравнением секущей АВ графика функции f (x), где (7.4)
– угловой коэффициент секущей АВ.
Точка В, двигаясь по графику функции f (x) к точке А, стремится к некоторому предельному положению – к касательной АТ. При этом касательная существует, если, как следует из уравнений (7.3) и (7.4), существует конечный предел
|
,
который называется угловым коэффициентом касательной к графику функции f(x) в точке А. Из уравнения (7.3) следует уравнение касательной к кривой f (x)
Прямая, перпендикулярная касательной к кривой f (x) в точке касания называется нормалью и имеет уравнение
Производные элементарных функций
1. (х α)΄ = α х α –1; 10. (sh x)΄ = ch x;
2. ; 11. (ch x)΄ = sh x;
3. ; 12. (th x)΄ = ;
4. (ах)΄ = ах ln a; 13. (cth x)΄ = ;
5. (ех)' = eх; 14. (сtg x)΄ = ;
6. ; 11. (arcsin x)΄ = ;
7. (sin x)΄ = cos x; 12. (arcсоs x)΄ = – ;
8. (cos x)΄= – sin x; 13. (arctg x)΄ = ;
9. (tg x)΄ = ; 14. (arcctg x)΄ = .
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной величины: С '= 0.
2. Производная аргумента: x '= 1.
3. Постоянный множитель перед функцией: (С u)´ = С u ´
4. Производная суммы (разности) функций u (х) и v (х):
(u ± v)´= u ´ ± v ´.
5. Производная произведения функций u (х) и v (х):
(uv)´= u ´ v + uv ´.
6. Производная частного функций u (х) и v (х):
7. Производная сложной функции f (z), если z = z (у), у = y (х):
(f { z [ у (х)]})' = f '(z)∙ z '(у)∙ y '(х).
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
8. Дифференцирование неявной функции F (x, у) = 0 проводится дифференцированием по х обеих частей уравнения и последующего решения его относительно y '(х).
9. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Пусть дана функция y (х), где х и у функции параметра t, то есть
тогда
Примеры:
Найти производные от следующих функций:
1. у = sin3 x.
Решение: принимая sin x за u и пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и формулами производных элементарных функций 1 и 7, получаем
у ′ = 3 sin2 x (sin x)′ = 3 sin2 x cos x.
2. y = ln(arctg x).
Решение: в данном случае u = arctgx. Принимая правило дифференцирования сложной функции и формулы 6 и 13, получаем
3. y = .
Решение: по правилу дифференцирования произведения получаем
При вычислении производной от принимаем u = . Применяя формулу 2 и правило дифференцирования сложной функции, получаем
Таким образом,
4.
Решение: по правилу дифференцирования частного получаем
|
или
5.
Решение: дифференцируем исходные равенства:
По правилу дифференцирования функций, заданных параметрически, получим
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!