Решение уравнений и систем линейных уравнений

Решение уравнений в Excel производится в два этапа:

● локализация корней, т. е. определение приближенного значения корня или интервала его нахождения (аналитически или графически);

● уточнение корней, которое проще выполнять, пользуясь инструментом Подбор параметра.

Пример 4. Решить уравнение

. (4)

Решение.

1 Преобразуйте уравнение к стандартной форме f (x) = 0:

. (5)

2 С целью отделения корней создайте столбец значений переменной x, изменяющейся в диапазоне [–5; 5] с шагом 0,5, и столбец соответствующих значений функции

. (6)

Для этого сначала в ячейке A1 наберите x =, а в ячейке B1 − f (x) =.

3 В ячейку A2 введите отрицательное число –5, являющееся левой границей интервала изменения переменной x.

4 В ячейку A3 занесите число –4,5, которое на величину шага 0,5 больше числа из ячейки A2.

5 Выделите ячейки A2 и A3:

6 Примените инструмент автозаполнения ячеек в диапазоне от A4 до A22.

7 В ячейку B2 введите формулу, начиная ее знаком =. Для ввода степени вызовите мастер функций, щелкнув на кнопке панели инструментов Стандартная. В категории Математические выберите функцию СТЕПЕНЬ. Появится окно, отображенное на рисунке 18.

8 Чтобы окно не мешало набору формулы, переместите его на свободное место рабочего листа посредством технологии Drag-and-Drop.

Рисунок 18 – Диалоговое окно Аргументы функции

В поле Степень введите число 3.

9 Установите курсор в поле Число. Для ввода аргумента щелкните на ячейке A2, наберите знак деления /, а затем число 2. Должно получиться A2/2.

10 Не закрывая окно Аргументы функции, щелкните в окне Excel в строке формул в конце выражения и наберите знак минус (–).

11 В списке функций в левом верхнем углу окна Excel

выберите Другие функции… Далее в категории Математические найдите и вставьте в формулу обращение к функции LN(), а затем в качестве аргумента функции LN − обращение к функции ABS(А2).

12 Перейдите в конец формируемого выражения в строке формул, наберите знак минус, число 2 и нажмите клавишу Enter.

В ячейке B2 должен отобразиться результат в виде отрицательного числа –19,23444.

13 Выделите ячейку B2 и примените инструмент автозаполнения ячеек в диапазоне от B3 до B22.

Фрагменты итоговой электронной таблицы в режиме отображения значений и в режиме формул соответственно показаны на рисунке 19.

Рисунок 19 – Результаты вычислений

Обратите внимание, что при функция f (x) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, корень уравнения f (x) = 0 находится в интервале x от 2,5 до 3.

Этап отделения корней завершен.

14 Чтобы зафиксировать найденное начальное приближение, скопируйте содержимое ячеек A18 и B18 и вставьте, например, в ячейки A25 и B25 соответственно. Можно также поместить в ячейку A25 среднее арифметическое чисел, содержащихся в ячейках A18 и A19.

15 Установите точность дальнейших вычислений равной 0,0001. Для этого командой Сервис / Параметры вызовите диалоговое окно Параметры, на его вкладке Вычисления в поле Относительная погрешность введите число 0,0001 и щелкните на кнопке Enter.

16 Активизируйте ячейку B25, в которой находится значениефункции f (x) при x = 3, близком к корню уравнения.

17 Выполните команду Сервис / Подбор параметра. В отобразившемся диалоговом окне заполните поля, как показано на рисунке 20.

Рисунок 20 – Результаты вычислений

Значение переменной x, которое находится в ячейке $A$25, будет варьироваться таким образом, чтобы соответствующее ему значение функции (в ячейке B25) стало равным 0, т. к. правая часть уравнения (5), корень которого определяется, равна нулю.

18 После щелчка мышью на кнопке OK появится информационное окно, показанное на рисунке 21.

Рисунок 21 – Результаты подбора параметра

Видно, что решение найдено с заданной точностью (погрешность – менее 10^-6). Значение корня уравнения x = 2,9057 отобразилось в ячейке A25, а соответствующее ему значение функции − в ячейке B25 (рисунок 22), т. е. в тех ячейках, в которые ранее были введены начальное приближение для корня и значение функции.

Рисунок 22 – Результаты определения корня уравнения

1.2.2 Решение систем линейных уравнений в Excel