Программного обеспечения ЭВМ

Кафедра высшей математики и

Программного обеспечения ЭВМ

 

Методические рекомендации

К выполнению РГЗ

По теме «Дифференциальные уравнения»

 

 

Мурманск

2008 г.

 

Составители: Великая Елена Евгеньевна, старший преподаватель кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

 

 

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и ПО ЭВМ 15 февраля 2006 г., протокол № 4

 

 

Рецензент – В. С. Кацуба, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

 

ÓМурманский государственный технический университет, 2008

Оглавление

Стр.

 

Введение………………………………………………………………………….. 4

 

Методические указания по теме «Дифференциальные уравнения»................. 5

 

Справочный материал по теме «Дифференциальные уравнения»…………… 6

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка……………………….... 6

2. Методы решения основных типов дифференциальных уравнений

1-го порядка……………………………………………………………………… 7

3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка……………………….. 13

4. Методы решения дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка ………………………………………………. 14

5. Решение линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с

постоянными коэффициентами ……………………………………………….. 18

6. Решение систем линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом повышения порядка……….…………………………………... 23

 

Примерный вариант и образец РГЗ «Дифференциальные уравнения»….….. 24

 

Варианты РГЗ «Дифференциальные уравнения»………………………........ 33

 

Рекомендуемая литература ……………………………………………..............37

Введение

 

В настоящем пособии содержатся методические рекомендации к изучению теоретического материала и выполнению РГЗ по теме «Дифференциальные уравнения», варианты РГЗ и список рекомендуемой литературы. В результате изучения этой темы студенты должны:

• знать основные понятия теории дифференциальных уравнений (порядок дифференциального уравнения, общее и частное решения дифференциального уравнения, начальные условия и др.);

• уметь определять тип дифференциального уравнения;

• знать методы решения основных типов дифференциальных уравнений 1-го порядка;

• знать методы решения основных типов дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка;

• уметь решать линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами;

• уметь решать системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Данные методические рекомендации включают также справочный материал, необходимый для выполнения РГЗ по теме «Дифференциальные уравнения» и решение примерного варианта работы, в котором имеются ссылки на используемый справочный материал.

 

Методические указания по теме «Дифференциальные уравнения»

№ задачи	Содержание (темы)	Литература
	Дифференциальные уравнения 1-го порядка	[1], гл.I, §1.1, 1.2, 2.1-2.4; [2], гл.15, § 1.1-1.6
	Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка	[1], гл.I, 3.1, 3.2; [2], гл.15, § 2.1-2.2
	Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами	[1], гл.I, §, 3.4, 4.1, 5.1-5.3; [2], гл.15, § 3-4
	Системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка	[1], гл.I, § 6.1-6.2; [2], гл.9, § 11-13

 

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал по теме

«Дифференциальные уравнения»

Методы решения основных типов дифференциальных уравнений

Го порядка

2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида

(4)

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Отличительной особенностью уравнений этого типа является то, что в правой их части находится произведение функций одна из которых зависит только от x, другая только от y.

Для того, чтобы найти решение уравнения (4), нужно разделить переменные x и y, собрав в левой и правой его частях функции, зависящие только от одной переменной.

Для разделения переменных в уравнении (4) заменим на

и умножим обе части уравнения на

Получили уравнение с разделенными переменными. Общий интеграл этого уравнения, а следовательно, и уравнения (4) находится почленным интегрированием:

где С – произвольная постоянная.

Таким образом, чтобы найти общее решение или общий интеграл уравнения (4), нужно разделить переменные x и y и почленно проинтегрировать полученное равенство.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Сравнивая данное уравнение с уравнением (4), замечаем, что оно является уравнением с разделяющимися переменными. Заменим на Разделим переменные, умножая обе части уравнения на

.

Интегрируя полученное равенство, получим:

Отсюда – общий интеграл данного уравнения. Разрешая его относительно у, можно записать общее решение данного уравнения в виде

Ответ:

З а м е ч а н и е. Уравнение вида

(5)

также является уравнением с разделяющимися переменными, т.к. здесь коэффициенты при dx и dy являются произведениями функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Уравнение вида (5) решается тем же способом, что и уравнение (4).

 

2.2. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение вида

(6)

где – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Отличительной особенностью линейного уравнения (6) является то, что искомая функция y и ее первая производная входят в уравнение в первых степенях и не перемножаются между собой, т.е. связаны линейно.

Для решения уравнения (6) воспользуемся способом подстановки. Будем искать неизвестную функцию y в виде произведения двух тоже пока неизвестных функций, т.е. положим Тогда Подставив значения y и в уравнение (6), получим: или

(7)

Если выбрать так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль, т.е.

, (8)

то вторая функция должна удовлетворять уравнению

(9)

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения (6) сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными (8) и (9). Общее решение уравнения (6) есть произведение какого-либо частного решения уравнения (8) и общего решения уравнения (9):

(10)

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения

которое удовлетворяет условию (задача Коши).

Решение.Разделив все члены уравнения на х, перепишем уравнение в виде

Сравнивая его с уравнением (6), убеждаемся, что оно является линейным дифференциальным уравнением. Положим Подставив y и в уравнение, получим: , или

(*)

Найдем функцию решая уравнение

(в данном случае удобно использовать логарифмическую константу интегрирования: не С, а ).

Из последнего уравнения получаем:

– общее решение, а при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .

Подставим найденную функцию в уравнение (*): и найдем функцию – общее решение этого уравнения. ,

откуда

– общее решение уравнения .

Общим решением исходного уравнения является функция

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно:

Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (решение задачи Коши):

Ответ:

2.3. Уравнения Бернулли.

Дифференциальное уравнение вида

(11)

где n – действительное число, , называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли является обобщением линейного дифференциального уравнения (6) и может быть решено тем же способом.

Пример решения уравнения Бернулли приведен в образце выполнения контрольной работы.

 

2.4.Однородные уравнения.

Функция f(x,y) называется однородной измерения m, если

Дифференциальное уравнение вида

P (x,y) dx+Q (x,y) dy = 0 (12)

называется однородным, если P (x,y) и Q (x,y) – однородные функции одного измерения.

Однородное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

(13)

С помощью подстановки , т.е. y = tx однородное дифференциальное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t (x).

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Здесь , обе функции – однородные, 2-го измерения, т.к. выполнено

.

Разрешим это уравнение относительно . Для этого запишем его в виде и разделим обе части на xydx, заменяя при этом на : .

Введем подстановку y = tx, откуда . Тогда уравнение примет вид:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t (х). Разделяем переменные t и х:

Переходим к интегрированию:

Здесь использовано:

Поскольку функцию y (x) сложно выразить явным образом через х и С, запишем решение в форме общего интеграла уравнения.

Ответ: – общий интеграл уравнения.

 

Постоянными коэффициентами

 

5.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Уравнение вида

(19)

где p (x), q (x) и f (x) – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка.

Отличительной его особенностью является то, что искомая функция у, и ее производные и входят в уравнение в первых степенях и не перемножаются между собой, т.е. связаны линейно.

Если , то уравнение (19) называется линейным однородным дифференциальным уравнением и имеет вид:

. (20)

если же , то уравнение (19) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка.

Общее решение линейного однородного уравнения 2-го порядка (20) имеет вид:

,

где у ₁ и у ₂ – два линейно независимых частных решения этого уравнения , а С ₁ и С ₂ – произвольные постоянные.

Общее решение линейного неоднородного уравнения (19) имеет вид:

,

где – общее решение соответствующего однородного уравнения (20), а – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (19).

 

5.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Если коэффициенты при у, и – постоянные, то уравнение

(21)

где p и q – вещественные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (21) имеет вид: ,

где у ₁ и у ₂ – два линейно независимых частных решения этого уравнения, а С ₁ и С ₂ – произвольные постоянные.

Для нахождения линейно независимых частных решений у ₁ и у ₂ уравнения (21) используется квадратное уравнение вида

,

которое называется характеристическим для уравнения (21).

В таблице 1 приведены виды функций у ₁ и у ₂ и вид общего решения уравнения (21) в зависимости от вида корней характеристического уравнения.

Таблица 1.

Корни характеристического уравнения	Вид функций у 1 и у 2	Вид общего решения уравнения
Вещественные различные	,
Вещественные равные	,
Комплексно-сопряженные	,

 

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение для данного однородного уравнения имеет вид (коэффициент при равен нулю). Его корнями являются комплексные числа Здесь . Тогда , и общее решение данного уравнения:

Ответ:

 

5.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида

(22)

где p и q – вещественные числа, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение линейного неоднородного уравнения (22) имеет вид:

(23)

где – общее решение соответствующего однородного уравнения (21), а – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (22).

Построение общего решения неоднородного уравнения состоит из двух этапов. Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения , затем найти частное решение неоднородного уравнения.

Решение для линейного однородного дифференциального уравнения (21) находят, используя характеристическое уравнение (п. 5.1), а для нахождения частного решения уравнения (22) можно использовать либо метод вариации произвольных постоянных, либо метод неопределенных коэффициентов.

Метод вариации произвольных постоянных.

Метод вариации произвольных постоянных применяется для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения в тех случаях, когда известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Если известно , то функция будет частным решением уравнения , если функции с ₁(х) и с ₂(х) удовлетворяют так называемым «условиям вариации»:

(24)

Для нахождения частного решения необходимо решить систему уравнений (24), затем проинтегрировать полученные функции:

(25)

и записать частное решение: . Константы интегрирования в (25) можно взять равными нулю, т.к. мы находим частное решение.

Пример использования метода вариации произвольных постоянных приведен в образце выполнения контрольной работы.

Метод неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов применяется для нахождения частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в тех случаях, когда функция f (x), стоящая в правой части этого уравнения, имеет один из двух «специальных» видов:

, (26)

где P_n (x) – многочлен степени n: P_n (x) = a ₀ xⁿ + a ₁ x^{n -1} +….+ a_{n -1} x+ a_n,

или

, (27)

где M и N – числа.

1) Если , то частное решение можно искать в виде:

(28)

где k ₁, k ₂ – корни характеристического уравнения, Q_n (x) – многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами, подлежащими определению, например,

, и т.д.

2) Если , то частное решение можно искать в виде:

(29)

где k ₁, k ₂ – корни характеристического уравнения, А и В – неизвестные постоянные, подлежащие определению.

 

Пример 6. Найти общее решение уравнения .

Решение.

1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем корни: – корни вещественные и различные. По таблице 1 определим вид линейно независимых частных решений однородного уравнения: , и запишем его общее решение:

.

2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения . В заданном уравнении – правая часть 1-го специального вида: Здесь , P_n (x) = 12 x, т.е. многочлен в правой части – 1-й степени (n = 1). Число совпадает с корнем характеристического уравнения . Следовательно, согласно (28) частное решение будем искать в виде:

,

где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные и подставим в данное неоднородное уравнение , при этом для простоты используем следующую форму записи:

.

Здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми входят в уравнение, а под чертой приравниваются (тождественно) левая и правая части уравнения после подстановки в него .

После сокращения обеих частей тождества на , получаем:

, откуда, приравнивая коэффициенты при х ¹ и при х ⁰ в обеих частях тождества, получаем:

Решая систему, находим . Подставляя найденные значения в , получим: .

Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение уравнения: .

Ответ: .

Пример использования метода неопределенных коэффициентов для случая, когда функция, стоящая в правой части уравнения, имеет 2-й специальный вид, приведен в образце выполнения контрольной работы.

 

РГЗ №4

Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: и точка . Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых. Построить все эти кривые в системе координат.

Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.

Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: и начальные условия: Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: . Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: . Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка: Найти общее решение системы методом повышения порядка.

Решение задачи 1. Данное дифференциальное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Заменим на и разделим переменные, умножая обе части уравнения на

.

Интегрируя полученное равенство, получим:

откуда . Заменяя , запишем общее решение данного уравнения: .

Найдем уравнение интегральной кривой, проходящей через точку , т.е. частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию: Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно: . Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М): .

Найдем уравнения еще нескольких интегральных кривых.

Построим все эти кривые в системе координат (рис.1).

Ответы: ; ,

Интегральные кривые изображены на рис.1.

Решение задачи 2. Данное дифференциальное уравнение – это уравнение Бернулли, где . Применим подстановку , тогда Подставив значения y и в уравнение, получим , или

(***)

Найдем функцию решая уравнение

.

Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения:

при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .

Подставляя найденную функцию в (***), получим дифференциальное уравнение для функции u: или .

Найдем функцию – общее решение этого уравнения:

, откуда

Общим решением исходного уравнения является функция

.

Ответ: .

Решение задачи 3. Данное дифференциальное уравнение – это дифференциальные уравнения 2-го порядка,не содержащие независимой переменной x. Полагаем = p (y), тогда и уравнение примет вид:

Решая первое уравнение, получим: – первое семейство решений. Оно не удовлетворяет начальному условию

Второе уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, заменяя на и проинтегрируем:

где . Производя обратную замену p = , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции y:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Прежде чем его интегрировать, целесообразно определить значение постоянной С ₁, используя начальные условия (y = 3, = 2 при х = 1):

Подставив значение в дифференциальное уравнение, получим:

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Здесь использовано: .

Определим значение постоянной С ₂, соответствующее начальному условию y (1) = 3:

Отсюда искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (решение задачи Коши): .

Получим частное решение уравнения, выразив y (x):

Ответ:

Решение задачи 4. Данное дифференциальное уравнение – это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.

1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По таблице 1 определим вид его общего решения

2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь , т.е. , тогда частное решение будем искать в виде .

Составим условиям вариации согласно (24):

Поделив оба уравнения почленно на , получим систему с неизвестными и :

Для решения этой системы можно использовать метод исключения. Выразим из первого уравнения и подставим во второе:

затем найдем

Переходим к интегрированию:

(константы интегрирования считаем равными нулю).

Тогда , и общее решение .

Ответ: .

 

Решение задачи 5. Данное дифференциальное уравнение – это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.

1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По таблице 1 определим вид его общего решения

2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода неопределенных коэффициентов. В заданном уравнении – правая часть 2-го специального вида: , где . Числа , тогда, согласно (29), частное решение будем искать в виде:

где А и В – неизвестные постоянные. Подставим в данное неодн