Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-11-17 | 372 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
4.1. Дифференциальные уравнения 2-го порядка,не содержащие искомой функции.
Уравнение такого типа имеет вид:
. (17)
Отличительной особенностью этого уравнения является то, что в него не входит явно искомая функция у, а входят только ее производные и .
Для решения уравнения (17) используется способ подстановки. Вместо производной введем новую неизвестную функцию = z (x), тогда . Подставляя в (17) вместо и соответственно z и , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно новой неизвестной функции z (x):
.
Определив тип этого уравнения и решив его, следует записать его общее решение в виде , а затем вернуться к функции у: . Полученное уравнение является дифференциальным уравнением 1-го порядка. Решая его, получаем общее решение уравнения (17):
.
Таким образом, решение уравнения 2-го порядка (17) сводится к последовательному решению двух дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Пример 4. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям
Решение. Данное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение 2-го порядка, не содержащее явно у. Полагаем = z (x), , тогда уравнение примет вид:
.
Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно функции z (x). Положим Подставив z и в уравнение, получим , или
(**)
Найдем функцию решая уравнение
Из последнего уравнения получаем: – общее решение, а при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .
Подставим найденную функцию в уравнение (**) и найдем общее решение этого уравнения.
откуда получаем:
– общее решение уравнения .
Запишем общее решение уравнения :
, т.е.
Прежде чем интегрировать это уравнение, целесообразно определить значение постоянной С, используя начальное условие
|
Подставив значение в дифференциальное уравнение, получим:
Проинтегрируем: .
Найдем значение постоянной С 1, используя начальное условие
Запишем частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям: .
Ответ: .
4.2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка,не содержащие независимой переменной.
Уравнение такого типа имеет вид:
. (18)
Отличительной особенностью этого уравнения является то, что в него не входит явно независимая переменная x.
Способ решения его состоит в следующем. Примем переменную y за новую независимую переменную, вместо неизвестной функции y (х) введем новую неизвестную функцию p (y) по формуле = p (y). Тогда, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим , где . Подставляя в (18) выражения для и , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции p (y):
Определив тип этого уравнения и решив его, следует записать его общее решение в виде . Так как p = , полученное выражение является дифференциальным уравнением 1-го порядка относительно искомой функции y (х):
.
Это уравнение с разделяющимися переменными, которое следует решать по обычной схеме (см. п.2.1).
Таким образом, решение уравнения 2-го порядка (18) сводится к последовательному решению двух дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Пример решения уравнения 2-го порядка,не содержащего независимой переменной, приведен в образце выполнения контрольной работы.
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!