Вычисление логарифма числа с произвольным основанием

Цель:научиться находить логарифм числа, применять свойства логарифмов для преобразования алгебраических выражений.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 8.

Виды самостоятельной работы:

- вычисление логарифма числа;

- нахождения числового выражения с применением свойств логарифмов;

- сравнение значений выражений;

- логарифмирование выражения по данному основанию;

- нахождение числа по данному его логарифму.

Краткая теоретическая справка

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от единицы основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Определение логарифма на языке символов:

(1)

Формулу (1) называют основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов:

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. Если , то .

8. Если , то .

Логарифмированием называется операция нахождения логарифма числа или выражения.

Потенцированием называют действие, обратное логарифмированию, т. е. потенцирование – это операция нахождения числа (выражения) по его логарифму. При выполнении этих операций пользуются свойствами логарифмов.

 

Практические задания

1. Вычислить логарифм числа.

2. Найти значение числового выражения.

3. Сравнить значения выражений.

4. Прологарифмируйте по основанию.

5. Найдите число х по данному его логарифму:

Для аудиторной работы

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) и ; б) и .

4. По основанию 3:

а) ; б) .

5. а) ; б) .

 

Для самостоятельной работы

Вариант 1

1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

3. а) и ; б) и ;

в) и .

4. Прологарифмируйте по основанию 2:

а) ; б) .

5. а) ; б) .

Вариант 2

1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

3. а) и ; б) и ;

в) и .

4. Прологарифмируйте по основанию 5:

а) ; б) .

5. Найдите число х по данному его логарифму:

а) ; б) .

 

Вариант 3

1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

3. а) и ; б) и ;

в) и .

4. Прологарифмируйте по основанию 2:

а) ; б) .

5. Найдите число х по данному его логарифму:

а) ; б) .

 

Вариант 4

1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

3. а) и ; б) и ;

в) и .

4. Прологарифмируйте по основанию 5:

а) ; б) .

5. Найдите число х по данному его логарифму:

а) ; б) .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют логарифмом числа?

2. Можно ли вычислить логарифм отрицательного числа?

3. Чему равен логарифм произведения двух положительных чисел?

4. Как можно преобразовать разность двух логарифмов по одному и тому же основанию?

5. Что называют логарифмированием выражения?

6. Какое преобразование называют потенцированием?

 

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 9

Вычисления логарифма числа

С произвольным основанием

Цель:научиться вычислять логарифмы чисел с произвольным основанием через десятичные и натуральные логарифмы с помощью специальных таблиц логарифмов или микрокалькуляторов.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 9.

Виды самостоятельной работы:

- нахождение значения десятичного и натурального логарифмов с помощью специальных таблиц логарифмов или микрокалькуляторов;

- вычисление логарифма числа с произвольным основанием с помощью выражения его через десятичный или натуральный логарифмы;

- вычисление значения логарифмического выражения с использованием свойств логарифмов.

Краткая теоретическая справка

С целью вычисления логарифмов чисел составлены специальные таблицы – таблицы логарифмов. Логарифмы можно вычислять и с помощью микрокалькуляторов. Но в обоих случаях находятся только десятичные или натуральные логарифмы.

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо .

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где е – иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln b вместо .

Для того, чтобы вычислить логарифмы чисел по любому основанию, достаточно знать значения десятичных или натуральных логарифмов и формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию:

,

где .

Практические задания

1. Вычислить значения десятичных и натуральных логарифмов с помощью таблиц логарифмов или калькулятора.

2. Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить с точностью до 0,01.

3. Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить с точностью до 0,01.

4. Преобразовать логарифмическое выражение, представив его в виде , а затем выразить получившийся логарифм сначала через десятичный, затем через натуральный, и сравнить значения вычислений.

 

Для аудиторной работы

 

1.а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) ; в) .

4. а) ; б) ; в) .

Для самостоятельной работы

Вариант 1

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) .

Вариант 2

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) .

Вариант 3

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) .

 

Вариант 4

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют логарифмом числа?

2. Какой логарифм называют десятичным? Как его обозначают?

3. Чему равно основание натурального логарифма? Как обозначают натуральный логарифм?

4. Как можно вычислить логарифм данного числа по произвольному основанию?

5. Какие свойства логарифмов вы использовали при выполнении практических заданий?

 

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

 

Практическая работа № 10

Преобразование и вычисление значений показательных и логарифмических выражений.

Цель:научиться выполнять преобразования показательных и логарифмических выражений.

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 10.

Виды самостоятельной работы:

- нахождение значения выражения, содержащего логарифмы;

- вычисление значения логарифмического выражения с использованием свойств логарифмов;

- применение формулы перехода от логарифма одного основания к логарифму другого основания.

Краткая теоретическая справка

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо .

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где е – иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln b вместо .

Для того, чтобы вычислить логарифмы чисел по любому основанию, достаточно знать значения десятичных или натуральных логарифмов и формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию:

,

где .

Практические задания

1. Вычислить значение выражения.

2. Найдите число х по его логарифму.

3. Вычислите, применяя формулу перехода к новому основанию.

4. Примените формулу перехода к новому основанию.

Для аудиторной работы

1. а) ; б) ; в) ; г)

2. а) б)

3. а) б)

4.

Для самостоятельной работы.

Вариант 1

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

2. а) б)

3. а) б)

4.

 

Вариант 2

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; г)

2. а) б)

3. а) б)

4.

 

Вариант 3

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

2. а) б)

3. а) б)

4.

 

Вариант 4

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

2. а) б)

3. а) б)

4.

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-4.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют логарифмом числа?

2. Какие свойства логарифмов вы использовали при выполнении практических заданий?

3. Какой логарифм называется десятичным?

4. Какой логарифм называется натуральным?

5. Запишите формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 11