Интерполяция по формулам Лагранжа и Ньютона

Интерполяционные многочлены строятся на основе соблюдения условий совпадения значений многочлена в узлах интерполяции с табличными значениями. Степень интерполяционного многочлена на 1 меньше, чем количество узлов интерполяции.

Интерполяционный многочлен Лагранжа используют в таблицах с неравноотстоящими значениями аргумента.

 

.

 

Перед вычислениями формулу удобно преобразовать, чтобы вычисления вести в следующей таблице.

 

x-x0	x0-x1	x0-x2	x0-x3	…	…	…	x0-xn	D0	y0/D0
x1-x0	x-x1	X1-x2	x1-x3	…	…	…	x1-xn	D1	y1/D1
x2-x0	x2-x1	x-x2	x2-x3	…	…	…	x2-xn	D2	y2/D2
…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
xn-x0	xn-x1	xn-x2	xn-x3	…	…	…	x-xn	Dn	yn/Dn

 

Преобразованная формула принимает вид:

 

. В формуле введены следующие обозначения:

 

произведение элементов главной диагонали таблицы,

произведение элементов i-ой строки таблицы, включая диагональный элемент. Погрешность интерполяции можно оценить по формуле:

.

 

Пример 1. Для таблично заданной функции найти значение y при x=0,527 с шестью значащими цифрами после запятой, используя интерполяционный многочлен Лагранжа.

 

K
Xk	0,43	0,48	0,55	0,62	0,70	0,75
Yk	1,63597	1,73234	1,87686	2,03345	2,22846	2,83973

Составляется таблица разностей.

 

						Dk 10-6	Yk/Dk 106
0,097	-0,050	-0,120	-0,190	-0,270	-0,320	-9,55411	-0,171232
0,050	0,047	-0,070	-0,140	-0,220	-0,270	1,36798	1,266347
0,120	0,070	-0,023	-0,070	-0,150	-0,200	0,40572	4,625998
0,190	0.140	0,070	-0,093	-0,080	-0,130	-1,80093	-1,129113
0,270	0,220	0,150	0,080	- 0,173	-0,050	6,18572	0,361427
0,320	0,270	0,200	0,130	0,050	- 0,223	-25,04736	-0,113374

 

Сумма элементов последнего столбца таблицы разностей:

S = 4,840053 10⁶.

Произведение элементов главной диагонали:

0,3762 10^-6.

Искомое значение функции при x=0,527 найдено:

Y(x=0,527)=1,82083.

Проверка в системе MathCAD y=1,8208805.

 

Интерполяционные формулы Ньютона применяют в таблицах с постоянным шагом h=const, причём, 1-ую формулу Ньютона используют для интерполяции в начале таблицы, 2-ую формулу Ньютона используют для интерполяции в конце таблицы.

В основе формул Ньютона – аппарат конечных разностей.

 

 

 

Для расчёта по формулам Ньютона к исходной таблице присоединяют справа таблицу конечных разностей.

 

k	xk	yk	yk	2yk	3yk
	x0 x1 x2 x3 x4	y0 y1 y2 y3 y4	y0 y1 y2 y3	2y0 2y1 2y2	3y0 3y1

 

В 1-ую интерполяционную формулу Ньютона подставляют значения из первой строки таблицы конечных разностей, а значение параметра q вычисляют по формуле: q = (x-x₀)/h>0.

Во 2-ую интерполяционную формулу Ньютона подставляют значения с диагонали таблицы конечных разностей, а значение параметра q вычисляют по формуле: q = (x-x_n)/h<0.

Степень интерполяционного многочлена Ньютона определяется порядком тех конечных разностей, которые оказываются практически постоянными в построенной таблице конечных разностей.

Эти формулы используют и для экстраполяции, точность которой невелика: 1-ую формулу – для интерполяции “вперёд” и экстраполяции “назад”; 2-ую формулу – для интерполяции “назад” и экстраполяции “вперёд”.

 

Пример 2.

Функция задана таблицей с равноотстоящими значениями аргумента. Найти значения y для x=1,217 и x=1,253.

 

xk	yk	yk	2yk
1,215 1,220 1,225 1,230 1,235 1,240 1,245 1,250 1,255 1,260	0,106044 0,106491 0,106935 0,107377 0,107818 0,108257 0,108696 0,109134 0,109571 0,110008	0,000447 0,000444 0,000442 0,000441 0,000439 0,000439 0,000438 0,000437 0,000437	-0,000003 -0,000002 -0,000001 -0,000002 0,000000 -0,000001 -0,000001 0,000000

 

 

В данном примере конечные разности первого порядка практически постоянны, а это приводит к тому, что конечные разности второго порядка близки к нулю.

 

 

Чтобы найти значение функции для аргумента x=1,217, находящегося вблизи начала таблицы, воспользуемся 1-ой формулой Ньютона и вычислим:

q =(1,217 – 1,215): 0,005 = 0,4

Подставляем в 1-ую формулу значения из первой строки таблицы:

 

y(x=1,217) = 0,106044 + 0,4 (0,000447) + (0,4 (-0,6): 2)(-0,000003)=

= 0,106044 + 0,000179 + 0,0000003 = 0,106223

 

Чтобы найти значение функции для аргумента x=1,253, находящегося вблизи конца таблицы, воспользуемся 2-ой формулой Ньютона и вычислим:

q =(1,253 – 1,260): 0,005 = -1,4

Подставляем во 2-ую формулу значения конечных разностей с диагонали таблицы:

 

y(x=1,253) = 0,110008 + (-1,4) 0,000437 = 0,110008 - 0,000612 = 0,109396