Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательностей.

Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательностей.

Имеют место следующие арифметические свойства пределов вещественных последовательностей:

Признаки существования предела последовательности

1Теорема (признак существования предела). Теорема Вейерштрасса Если последовательность {an} монотонна и ограничена, то она имеет предел.

2Теорема (признак существования предела).или теорема о двух милиционерах. Если одна

последовательность заключена между двумя другими, имеющими одинаковый предел, то она имеет тот же предел.

3Критерий Коши:Для существования предела последовательности {Xn}, необходимо и достаточно, чтобы для любого эпсилон>0 существовало N=N(эпсилон) такое, что для всех n>N и p>0, |Xn-X(n+p)|<эпсилон.

Замечательный предел типа e

Математики рассматривали последовательность(а эн равное лимит стремящийся к бесконечности (1-1+/n) в степени n) Эта последовательность {an } возрастает и ограничена сверху (доказательство это-

го любознательные студенты могут посмотреть в учебниках математики). Следовательно, существует предел этой последовательности.Его и обозначили через е в честь математика Эйлера (1707-1783).

Предел функции в точке.

Имеется также определение предела функции, при стремлении

аргумента к определенному значению а, называемого пределом функции в

точке. Число A называется пределом функции y = f(x) при x → a, если для любого, даже сколь угодно малого положительного для любого, даже сколь угодно малого ε > 0, найдется такое число δ > 0 (зависящее от ε), что для всех x из δ-окрестности точки a, выполнено неравенство: Это определение называется определением на языке ε и δ,предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.

Запишем на языке кванторов определение предела функции в точке:

 

25. определение предела функции на языке

 

Геометрический смысл предела функции в точке

Выясним, в чем заключается геометрический смысл предела функции

в точке. Построим график функции y=f(x) и отметим на нем точки

x=a и y=A.

Предел функции y=f(x) в точке x стремящееся к а существует и равен A, если

для любой ε-окрестности точки A можно указать такую δ-окрестность точки

a, что для любого x из этой δ-окрестности значение f(x) будет находиться в

ε-окрестности точки A.

Отметим, что по определению предела функции в точке для

существования предела при x → a не важно, какое значение принимает

функция в самой точке a. Можно привести примеры, когда функция не

определена при x=a или принимает значение, отличное от A. Тем не

менее, предел может быть равен A.

 

Свойства функций имеющих предел

Односторонние пределы функции в точке

Производная как скорость изменения функции

Производная сложной функции

Бином Ньютона

 

Свойства дифференциала

 

Таблица дифференциалов

 

Формула Ньютона—Лейбница

.

66.

1.Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (x), осью абсцисс, и прямыми х = а, х = b.

2. Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то значение определённого интеграла изменится на противоположное

Доказательство.

.

3. Если промежуток интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

,

где С — некоторое число.
Доказательство.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

,

Это свойство остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.
Доказательство.

6. Если промежуток интегрирования разбит на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по каждой части.

.

Доказательство. Пусть а < с < b и функция f (x) неотрицательна на [ a, b ]. Согласно геометрическому свойству определенного интеграла , есть площади соответствующих криволинейных трапеций. Тогда при сделанных предположениях имеем равенство между площадями S = S ₁ + S ₂.

7Если на отрезке [ a, b ], где а < b, имеет место неравенство 0 ≤ f (x) ≤ g (x), то

.

Обе части неравенства можно проинтегрировать, при этом смысл неравенства остаётся прежним.
Доказательство. Пусть фиксированы разбиение отрезка [ a, b ] и выбор точек x ₁, x ₂,…, x_n на каждом из отрезков разбиения. Тогда из неравенства f (x) ≤ g (x) вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм:

.

Переходя к пределу при max Δ x_i → 0, получим рассматриваемое неравенство для интегралов.
Следствие. Пусть на отрезке [ a, b ] где а < b, имеют место неравенства m ≤ f (x) ≤ M, где m и М — некоторые числа. Тогда

67. Теорема о среднем. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], где а < b, то найдется такое значение c Î [ a, b ], что

.

По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения х Î [ a, b ] вверны неравенства m ≤ f (x) ≤ M, где m и М — наименьшее и наибольшее значения функции на [ a, b ]. Тогда,

Функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число с Î [ a, b ], что

,что и требовалось доказать.
Геометрический смысл теоремы о среднем. Пусть f (x) ≥ 0 на [ a, b ]. По теореме о среднем найдется такая точка, из отрезка [ a, b ], что площадь под кривой y = f (x)

на отрезке [ a, b ] равна площади прямоугольника со сторонами f (с) и (b - а).

68.

69.

 

 

Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательностей.

Имеют место следующие арифметические свойства пределов вещественных последовательностей: