Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-11-17 | 297 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Определение: Функция называется голоморфной в точке , если она представима в точке , т.е. , причём ряд сходится в интервале , ().
Сформулируем теорему Коши для линейного дифференциального уравнения n-ого порядка:
(1).
Заданы начальные условия , ,…, при
Теорема Коши:
Если все функции и являются голоморфными в точке , т.е. , , -сходятся в области . Тогда существует единственное решение с заданными начальными условиями, голоморфными в области ,
(2)
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка.
(3)
, , ,
, при (3)
Тогда на основании теоремы Коши существует единственное голоморфное в окрестности решение (4)
Подставим решение (4) в уравнение (3):
+ + (5)
или
+ + (6)
Воспользуемся формулой произведения степенных рядов.
(7)
Тогда уравнение (6) имеет вид:
+ + (8)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:
+ + (9)
: , находим С2
: , находим С3.
И так далее.
Коэффициенты находятся единственным образом.
+ +
Пусть , и ,
Тогда мы получим два частные решения и , которые образуют в интервале фундаментальную систему.
Следовательно, общее решение построено в окрестности точки , которая называется обыкновенной.
Точка называется обыкновенной, если все коэффициенты уравнения голоморфны в этой точке, в противном случае, точку будем называть особой точкой дифференциального уравнения.
На практике удобно брать фундаментальную систему решений??? в точке .
В нашем случае .
(10)
,
определяя коэффициенты и по формуле (9).
Пример 1:
Рассмотрим уравнение Эйри:
(11)
очевидно, что обыкновенная точка.
, (12)
Подставим (12) в уравнение (11):
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:
:
:
:
:
:
:
Аналогично находим :
- общее решение уравнения Эйри.
Рассмотрим уравнение Бесселя n-ого порядка:
(13),
когда (14)
-особая точка.
Пусть , замена (15)
Приводим уравнение (14) к уравнению:
(16)
, или
(17)
Функция Бесселя порядка:
: (18)
- :
Ни , ни не являются голоморфными решениями в окрестности точки . Этого следовало ожидать, т.к. является особой точкой.
Обобщённым степенным рядом по степеням называется ряд вида , где показатель ρ есть некоторое постоянное число, а ряд есть сходящийся степенной ряд, причём .
Какой вид должны иметь коэффициенты уравнения (1) в окрестности особой точки , чтобы хоть одно из частных решений было представимо в окрестности этой особой точки в виде обобщённого степенного ряда по степеням , т.е. , (19)
Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема:
Теорема:
Для того, чтобы уравнение (1) имело в окрестности точки хоть одно частное решение в виде обобщённого степенного ряда (19), достаточно, чтобы это уравнение имело вид:
, (20)
где , сходящиеся степенные ряды при , причём не равны нулю одновременно, ибо в противном случае точка не особая и существует два линейно независимых решения, голоморфных в точке , и ряд заведомо сходится в той же области.
ЛЕКЦИЯ 7.
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!