Кафедра математики и механики

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Вологодская государственная молочнохозяйственная
академия имени Н.В. Верещагина»

 

Кафедра математики и механики

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НА ПЛОСКОСТИ

 

методические указания и контрольные задания

для студентов бакалавриата направлений подготовки

35.03.02 – «Технология заготовительных и деревоперерабатывающих производств», 35.03.04 – «Агрономия», 35.03.05 – «Садоводство», 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, 36.03.02 Зоотехния, 35.03.01 Лесное дело, 110800 — «Агроинженерия», 151000 — Технологические машины и оборудование», 221700 — «Стандартизация и метрология», 260200 — «Продукты питания животного происхождения», 38.03.01 — Экономика, 38.03.02 — Менеджмент. (очная, заочная и очно-заочная формы обучения)

 

Вологда–Молочное

УДК 514.12

ББК 22.1 р30

М341

Разработала:

 

К.э.н., доценткафедры математики и механики В.Ю. Ивановская.

 

 

Рецензенты:

 

к.э.н, доцент кафедры математики и механики Кузнецова Н.И.

к.т.н, доцент кафедры химии и физики Киселева Н.В.

 

М341 Аналитическая геометрия на плоскости: Методические указания для студентов бакалавриата направлений подготовки 35.03.02 – «Технология заготовительных и деревоперерабатывающих производств», 35.03.04 – «Агрономия», 35.03.05 – «Садоводство», 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, 36.03.02 Зоотехния, 35.03.01 Лесное дело, 110800 — «Агроинженерия», 151000 — Технологические машины и оборудование», 221700 — «Стандартизация и метрология», 260200 — «Продукты питания животного происхождения», 38.03.01 — Экономика, 38.03.02 — Менеджмент. (очная, заочная и очно-заочная формы обучения).

/ Составила к.э.н., доценткафедры математики и механики В.Ю. Ивановская.– Вологда–Молочное: ИЦ ВГМХА, 2015. – 25 с.

 

Составлено в соответствии с требованиями (федеральный компонент) к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки бакалавра и дипломированного специалиста по математическому и естественнонаучному циклу с целью оказания помощи при написании контрольной работы студентами заочной и очно-заочной формы обучения.

Предназначено для студентов заочной и очно-заочной формы обучения (бакалавриат направлений подготовки 35.03.02 – «Технология заготовительных и деревоперерабатывающих производств», 35.03.04 – «Агрономия», 35.03.05 – «Садоводство», 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции, 36.03.02 Зоотехния, 35.03.01 Лесное дело, 110800 — «Агроинженерия», 151000 — Технологические машины и оборудование», 221700 — «Стандартизация и метрология», 260200 — «Продукты питания животного происхождения», 38.03.01 — Экономика, 38.03.02 — Менеджмент. (очная, заочная и очно-заочная формы обучения).

 

Публикуется в соответствии с планом издательской деятельности на 2015 год, утверждённым решением Ученого совета ____2015 года, протокол №__.

 

УДК 514.12

ББК 22.1 р30

 

ã Ивановская В.Ю., 2015

ã ИЦ ВГМХА, 2015

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

 

Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные оси координат, точкой пересечения которых является точка начала отсчета и определено, какая из осей является первой, а какая второй, то говорят, что в пространстве задана прямоугольная система координат.

 

Рис.1

 

Кривые второго порядка

Определение. Кривыми второго порядка являются линии, уравнения которых есть уравнения второй степени с двумя неизвестными:

Причем, хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.

К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Для задания невырожденной кривой второго порядка (оси которой параллельны координатным осям) необходимо выполнение условий:

 

1) если то уравнение определяет окружность;

 

2) если то уравнение определяет эллипс;

 

3) если то уравнение определяет гиперболу;

 

4) если то уравнение определяет параболу.

 

Определение. Окружностью радиуса называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки , называемой центром (см. рис. 5).

Тогда, можем записать:

 

(12)

 

Уравнение (12) называется нормальным уравнением окружности.

x

y

О

Р и с. 5.

 

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , и большая, чем расстояние между фокусами (см. рис. 6).

b c2SgOq74IQ/w0LYu/v4ZCJmnOqOoclA4uVhG6oxSc7QTz2Oufld3LQ+gnv0HAAD//wMAUEsDBBQA BgAIAAAAIQCdb2Bi3AAAAAUBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI/BSgMxEIbvgu8QRvBmk5bS lHWzRQRF9KCtC17TzXQ3mEyWTdpdfXpTL3oZGP6fb74pN5N37IRDtIEUzGcCGFITjKVWQf3+cLMG FpMmo10gVPCFETbV5UWpCxNG2uJpl1qWIRQLraBLqS84j02HXsdZ6JFydgiD1ymvQ8vNoMcM944v hFhxry3lC53u8b7D5nN39AqWi4Nbvz2uXr6f6np8/lhaKV6tUtdX090tsIRT+ivDWT+rQ5Wd9uFI JjKnID+SfmfOpJBzYPszWErgVcn/21c/AAAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEB AAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9 If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAESm bfQWBgAAyCoAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAh AJ1vYGLcAAAABQEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAcAgAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAE APMAAAB5CQAAAAA= ">

у

х

Р и с. 6.

 

Обозначим фокусы и , а расстояние между ними

Расстояние называется большей осью эллипса, а малой осью.

Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат имеет вид:

(13)

где (14)

Определение. Отношение фокусного расстояния к длине большей оси называется эксцентриситетом эллипса и обозначается

(15)

 

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, разность расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная и меньшая, чем расстояние между фокусами (см. рис. 7).

 

o

x

y

Р и с. 7.

 

Обозначим фокусы и , а расстояние между ними.

Расстояние называется действительной осью гиперболы, а мнимой осью.

Прямые асимптоты гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат имеет вид:

(16)

где (17)

Определение. Отношение фокусного расстояния к длине действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается

(18)

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Определение. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через .

Канонические уравнения параболы с центром в начале координат:

1) Парабола симметрична относительно оси , фокус правее директрисы, ветви направлены вправо (см. рис 8).

 

(19)

y

x

 

 

Р и с. 8.

 

2) Парабола симметрична относительно оси фокус левее директрисы, ветви направлены влево (см.рис.9).

 

(20)

 

 

y

x

Р и с. 9.

 

3) Парабола симметрична относительно оси фокус выше директрисы, ветви направлены вверх (см.рис.10).

(21)

 

 

y

x

Р и с. 10.

 

4) Парабола симметрична относительно оси Oy, фокус ниже директрисы, ветви направлены вниз. (см.рис.11).

 

(22)

 

y

x

Р и с. 11.

 

Контрольные задания

 

1. Даны вершины треугольника Найти:

- уравнения стороны треугольника;

- уравнение высоты

- уравнение медианы

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно заданной прямой.

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

2.28

2.29

2.30

 

3. Найти расстояние от точки до прямой

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

 

4. Определить взаимное расположение двух прямых.

 

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

 

5. Найти yгол между двумя прямыми.

 

5.1

 

5.2

 

 

5.3

 

5.4

 

5.5

 

5.6

 

5.7

 

5.8

 

5.9

 

5.10

 

5.11

 

5.12

 

5.13

 

5.14

 

5.15

 

5.16

 

5.17

 

5.18

 

5.19

 

5.20

 

5.21

 

5.22

 

5.23

 

5.24

 

5.25

 

5.26

 

5.27

 

5.28

 

5.29

 

5.30

 

6. Определить вид кривой II порядка, используя метод выделения полных квадратов.

 

6.1 .

6.2 .

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

 

 

7. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок где точка начало координат.

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

 

8. Составить каноническое yравнение эллипса по исходным данным (малая полyось , большая полуось ,координаты фокyса , эксцентриситет ).

 

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8 .

8.9

8.10 .

8.11

8.12

8.13

8.14

8.15

8.16

8.17

8.18

8.19

8.20 b =5, F(-10,0).

8.21

8.22

8.23

8.24

8.25

8.26

8.27

8.28

8.29

8.30

9. Построить параболу, если задана ее директриса.

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

9.10

9.11

9.12

9.13

9.14

9.15

9.16

9.17

9.18

9.19

9.20

9.21

9.22

9.23

9.24

9.25

9.26

9.27

9.28

9.29

9.30

10. Вычислить эксцентриситет и определить фокусное расстояние гиперболы.

10.1 .

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

10.10

10.11

10.12

10.13

10.14

10.15

10.16

10.17

10.18

10.19

10.20

10.21

10.22

10.23

10.24

10.25

10.26

10.27

10.28

10.29

10.30

Примеры решения типовых заданий.

1. Даны вершины треугольника Найти:

1.1 уравнение стороны треугольника;

1.2 уравнение высоты

1.3 уравнение медианы

Решение. 1.1 Уравнение стороны треугольника составим, воспользовавшись формулой (6):

 

откуда или .

1.2 С учетом условия перпендикулярности двух прямых и , формула (10):

Тогда уравнение высоты найдем по формуле (5): откуда или

1.3 Для того, чтобы найти координаты середины отрезка точки применим формулы (2):

 

Имеем: тогда

Уравнение медианы составим по формуле (6):

откуда или

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно к прямой

Решение. Так как прямая проходит через одну заданную точку, воспользуемся уравнением (5). Коэффициент в нем найдем из условия параллельности прямых (9):

3. Найти расстояние от точки до прямой если

Решение. Предварительно составим уравнение прямой как прямой, проходящей через две заданные точки, формула (6):

 

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле (11):

 

4. Определить взаимное расположение двух прямых

 

Решение. Находим: приведя оба уравнения к виду (4), видим, что следовательно, прямые перпендикулярны.

5. Найти угол между двумя прямыми .

Решение. Для того, чтобы определить угловые коэффициенты прямых I и II, приведем их уравнения к виду (4), выразив из обоих уравнений y:

Коэффициенты при и есть угловые коэффициенты прямых

.

Угол между двумя прямыми находится по формуле (8):

=

 

6. Определить вид кривой II порядка используя метод выделения полных квадратов.

 

Решение. Сгруппируем слагаемые, содержащие в одну скобку, а содержащие в другую: Дополним выражения в скобках до полных квадратов:

 

Получили уравнение окружности с центром в точке ) и радиусом

 

7. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок , где ,а -начало координат.

Решение. Для того, чтобы найти координаты центра кривой применим формулы (2) для нахождения координат середины отрезка:

Имеем: , тогда

Радиус окружности найдем по формуле (1):

 

 

<