Операции над событиями. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

3.3.1. Игральная кость подбрасывается один раз. Наблюдаемый результат – выпавшее число очков. Рассмотрим события: А₁ – выпавшее число кратно трем; А₂ – выпавшее число нечетно; А₃ – выпавшее число не меньше трех; А₄ – выпавшее число не больше двух; А₅ – выпало число от 2 до 4. Выяснить, какие из этих событий являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события _2,, ₃, А₁А₂, А₁+А₂, А₁А₃, А₁+А₃, А₁А₄, А₁+А₄, А₁А₅, А₂А₃, А₂А₅, А₂+А₅, А₃А₄, А₃+А₄, А₃А₅, А₃+А₅, А₄+А₅, А₁+А₂+А₅.

 

3.3.2. Из партии калькуляторов выбирают пять калькуляторов для проверки. Наблюдаемый результат – число калькуляторов, имеющих брак. Рассмотрим события: А₁ – число бракованных калькуляторов не более трех; А₂ – бракованных калькуляторов – три; А₃ – число бракованных калькуляторов не менее двух; А₄ – есть хотя бы четыре калькулятора с браком; А₅ – есть хотя бы один калькулятор с браком. Выяснить, какие из этих событий являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события ₁, ₂, ₄, ₅, А₁А₃, А₁+А₃, А₂А₃, А₂+А₃, А₁А₅, А₁+А₅, А₂+А₄, А₂А₅, А₃А₄, А₃+А₄.

 

3.3.3. Производится осмотр телевизора, при котором можно обнаружить всего 4 различных дефекта. Наблюдаемый результат – количество обнаруженных дефектов. Рассмотрим события: А₁ – обнаружен один дефект; А₂ – обнаружено два дефекта; А₃ – обнаружено три дефекта; А₄ – обнаружены все дефекты; А₅ – обнаружен хотя бы один дефект; А₆ – обнаружено не менее двух дефектов; А₇ – обнаружено не более двух дефектов. Выяснить, какие события являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события ₄, ₅, ₇, А₁А₅, А₁+А₅, А₁А₆, А₁+А₆, А₁А₇, А₁+А₇, А₃А₄, А₃+А₄, А₅А₇, А₅+А₇, А₆А₇, А₆+А₇, А₂+А₃+А₄.

 

3.3.4. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.1. Событие А_k – элемент с номером k вышел из строя, k=1,2,3,4; событие В – разрыв цепи. Выразить событие В в алгебре событий А₁, А₂, А₃, А₄.

2

1 4

3 Рис.1

 

3.3.5. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.2. Событие А_k – элемент с номером k вышел из строя, k=1,2,3,4,5; событие В – разрыв цепи. Выразить событие В в алгебре событий А₁, А₂, А₃, А₄, А₅.

 

1 2

3

4 5 Рис.2

 

 

3.3.6. Из урны, в которой находятся 7 черных и 8 белых шаров, вынимают наугад три шара. Найти вероятность того, что они будут одного цвета.

 

3.3.7. Из колоды в 36 карт вынимают 7 карт. Найти вероятность того, что среди них 4 дамы или 4 короля.

 

3.3.8. Среди пяти одинаковых пар обуви наугад выбирают 4 башмака. Найти вероятность того, что хотя бы два из них составят пару.

 

3.3.9. Один раз подбрасывается игральная кость. События: А – выпало простое число очков; В – выпало четное число очков. Вычислить вероятности Р (А) и Р (А/В).

 

3.3.10. Два раза подбрасывается игральная кость. События: А – оба раза выпало число очков, кратное 3; В – оба раза выпало одно и то же число очков. Вычислить вероятности Р (А) и Р (А/В).

 

3.3.11. Из колоды в 36 карт вынимают две карты. Найти вероятность того, что: а) это тузы; б) это тузы при условии, что вынуты красные карты.

 

3.3.12. Из колоды в 36 карт вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что: а) это дамы; б) это дамы при условии, что все вынутые карты – разных мастей.

 

3.3.13. Заключение сделки состоит из двух последовательных независимых этапов. Вероятность успешного прохождения первого этапа равна 0,9, второго этапа – 0,8. Найти вероятность того, что сделка будет заключена.

 

3.3.14. Коммерсант договаривается о поставке товаров с двумя поставщиками, действующими независимо друг от друга. Вероятность того, что первый поставщик поставит товар, равна 0,95, а того, что второй – 0,6. Найти вероятность того, что коммерсант получит товар (т.е. товар поставит хотя бы один поставщик).

 

3.3.15. В магазине установлены две независимо работающие системы сигнализации. Вероятность несрабатывания первой системы равна 0,05, второй системы – 0,02. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработает хотя бы одна система сигнализации.

 

3.3.16. Для охраны банка созданы три независимо работающие системы безопасности, вероятности отказа которых равны соответственно 0,05, 0,02 и 0,01. Какова вероятность того, что в случае несанкционированного проникновения в банк сработает хотя бы одна система безопасности?

 

3.3.17. Прибор состоит из четырех последовательно соединенных блоков. Надежность каждого блока (т.е. вероятность безотказной работы в течение установленного времени Т) равна 0,9, причем отказы блоков являются независимыми в совокупности событиями. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение времени Т.

 

3.3.18. Найти надежность электрической схемы, приведенной на рис.3, если надежность любого из трех параллельно соединенных элементов этой схемы равна 0,8. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент.

1

2

3 Рис.3

 

3.3.19. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,5, третий – с вероятностью 0,3. Выстрелили все трое. Найти вероятность того, что мишень поражена.

 

3.3.20. Имеется деформированная монета, у которой вероятность выпадения решки равна 0,4, а орла – 0,6. Найти вероятность того, что при двукратном подбрасывании монеты она оба раза упадет на одну и ту же сторону.

 

3.3.21. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Их вынимают по одному до появления первого белого шара. Найти вероятность того, что процесс оборвется: а) на втором шаре; б) на 3-ем шаре.

 

3.3.22. Студент, который знает 10 из 15 вопросов по первому разделу и 16 из 20 вопросов по второму разделу, получает по одному случайно выбранному вопросу из каждого раздела. Найти вероятность того, что студент ответит: а) правильно на оба вопроса; б) правильно на первый вопрос и неправильно на второй; в) правильно хотя бы на один вопрос; г) правильно на один вопрос.

 

3.3.23. Из хорошо перемешанной колоды в 36 карт вынимаются одна за другой две карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт: а) первая – дама, вторая – туз; б) обе – крестовой масти, причем первая – дама; в) обе – крестовой масти; г) одна дама и один туз; д) одна дама.

 

3.3.24. В магазин поступила большая партия товара: 40% партии – товар 1 сорта, 50% - товар 2 сорта, остальное – высшего качества. Найти вероятность того, что две случайным образом выбранные единицы товара – одного сорта.

 

3.3.25. В среднем 40 % урожая – яблоки 1-го сорта. Вероятность того, что товаровед примет первосортную партию 1-ым сортом, равна 0,85. Кроме того, он может допустить ошибку, считая непервосортную партию первосортной. Это происходит с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что товаровед неправильно установит сорт партии яблок.

 

3.3.26. В ящике 20 шаров, среди которых 4 белых. Шары выбираются наугад, пока не попадется белый. Найти вероятность следующего события A: будет выбрано ровно три шара.

 

3.3.27. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 2/3, вторым – 1/2. Первый стрелок сделал 2 выстрела, а второй – 3. Найти вероятность следующего события A: цель не поражена.

 

3.3.28. Инспектор проверяет состояние двух автомобилей. Вероятность полной исправности любого из автомобилей равна 0,9. Найти вероятность следующего события A: среди проверенных автомобилей ровно один полностью исправен.

 

3.3.29. Три стрелка одновременно выстрелили в цель. Вероятности попадания первого, второго и третьего стрелков соответственно равны 0,3; 0,6; 0,8. Найти вероятности следующих событий: A – цель поражена; B – в цель попал ровно один стрелок; C – в цель попали ровно два стрелка; D – в цель попали все стрелки; E – хотя бы один стрелок промахнулся.

 

3.3.30. В первом ящике 5 белых, 7 черных и 3 красных шара; во втором ящике 4 белых, 2 черных и 4 красных шара. Из каждого ящика наугад вынимается по одному шару. Найти вероятность следующего события A: оба выбранных шара – одного цвета.