Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-10-11 | 1489 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Колебания однородной бесконечной струны.
Формула Даламбера
Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с более простой задачи – задачи о свободных колебаниях однородной бесконечной струны. Это задача, как было показано в п. 1.24, сводится к решению уравнения
(1.121) |
при начальных условиях
, , | (1.122) |
где функции и заданы на всей числовой оси. Никакие граничные условия на искомую функцию не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.
Для решения поставленной задачи преобразуем уравнение (1.121) к каноническому виду, содержащему смешанную производную (см. (1.93)). Для чего составим уравнение характеристик
,
которое распадается на два уравнения:
и .
Интегрируя эти уравнения, получим
и .
Согласно общей теории о замене переменных полагаем
, .
Тогда уравнение (1.121) преобразуется к виду
.
Как было показано в п.1.18 (см. формулу (1.87)), общее решение такого уравнения имеет вид
,
где и - произвольные функции. Возвращаясь к старым переменным и , получим общее решение волнового уравнения (1.121)
. | (1.123) |
Определим функции и таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (1.122)
,
.
Интегрируя последнее равенство по , получим
, где .
Из равенств
,
находим
, | (1.124) |
. | (1.125) |
Таким образом, мы определили функции и через заданные функции и , причем равенства (1.124) и (1.125) имеют место для любого значения . Заменяя аргумент в (1.124) на , а в (1.125) на и подставляя найденные функции и в (1.123), получим
и окончательно
. | (1.126) |
Формулу (1.126) называют формулой Даламбера.
|
Нетрудно проверить непосредственным дифференцированием, что полученное выражение для есть решение для волнового уравнения (1.121), удовлетворяющее начальным условиям (1.122). Для этого достаточно предположить, что функция дифференцируема, а функция - дважды дифференцируема. Способ вывода формулы (1.126) доказывает как единственность, так и существование решения задачи Коши. Из формулы (1.126) непосредственно видно также, что задача поставлена корректно – при любом конечном значении малому изменению функций и соответствует малое изменение решения.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОДОМ ДАЛАМБЕРА)
Одним из широко используемых способов решения уравнений колебаний струны является метод характеристик, называемый методом Даламбера. В основе его лежит тот факт, что с помощью замены , уравнение
(2.73) |
преобразуется в уравнение , которое имеет общее решение
,
где и - произвольные дважды дифференцируемые функции (см. пример 2.40). Для определения функций и , т.е. для определения закона колебаний струны, требуется использовать начальные условия, а для некоторых задач и граничные. Если вернуться к старым переменным и , то общее решение примет вид
.
Здесь характеризует прямую волну (кривая смещается вправо со скоростью ), а - обратную волну (кривая смещается влево со скоростью ).
Если рассматривается задача Коши для бесконечной струны , то по заданным начальным условиям
, | (2.74) |
определяются функции и , и искомое решение имеет вид
. | (2.75) |
Формула (2.75) называется формулой Даламбера. Эта формула доказывает единственность решения задачи Коши.
В частности, когда начальная скорость равна нулю (), то
,
откуда легко вычислить отклонение струны от положения равновесия для любой из ее точек; оно равно сумме левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией , равной половине начального отклонения.
|
В случае полубесконечной струны, кроме начальных условий (2.74), заданных при , необходимо добавить еще граничное условие (конец предполагается в точке )
(2.76) |
для закрепленной в точке струны,
(2.77) |
для свободного конца в точке ,
.
для упругого закрепления в точке .
В случае однородных граничных условий (2.76) или (2.77) решение задачи о колебании полубесконечной струны сводится к решению задачи о колебании бесконечной струны путем продолжения начальных условий на всю ось нечетным образом для условия (2.76), т.е. полагают , , и четным образом для условия (2.77), т.е. , .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.43. Найти форму достаточно длинной струны, определяемой уравнением , в момент времени , , если заданы начальные смещения и скорости:
а) ;
б) ;
в) .
Решение. По постановке вопроса надо найти решение задачи Коши (2.73), (2.74) в области: , . Оно определяется формулой Даламбера (2.75).
Случай а). Полагая в формуле Даламбера , , найдем смещение в любой точке и любой момент :
Откуда определяем форму кривой в указанные моменты времени:
, .
Кривые изображены на рис. 2.3.
Случай б) Начальные смещения струны равны нулю, т.к. . При колебательный процесс будет описан по формуле
В момент времени струна имеет форму косинусоиды: , а в момент она совпадает с осью абсцисс: .
Случай в). По условию, начальные скорости равны нулю, значит, . Тогда имеем
Форма струны в указанные моменты времени определяется уравнениями:
, .
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОДОМ ДАЛАМБЕРА)
Одним из широко используемых способов решения уравнений колебаний струны является метод характеристик, называемый методом Даламбера. В основе его лежит тот факт, что с помощью замены , уравнение
(2.73) |
преобразуется в уравнение , которое имеет общее решение
,
где и - произвольные дважды дифференцируемые функции (см. пример 2.40). Для определения функций и , т.е. для определения закона колебаний струны, требуется использовать начальные условия, а для некоторых задач и граничные. Если вернуться к старым переменным и , то общее решение примет вид
.
Здесь характеризует прямую волну (кривая смещается вправо со скоростью ), а - обратную волну (кривая смещается влево со скоростью ).
Если рассматривается задача Коши для бесконечной струны , то по заданным начальным условиям
|
, | (2.74) |
определяются функции и , и искомое решение имеет вид
. | (2.75) |
Формула (2.75) называется формулой Даламбера. Эта формула доказывает единственность решения задачи Коши.
В частности, когда начальная скорость равна нулю (), то
,
откуда легко вычислить отклонение струны от положения равновесия для любой из ее точек; оно равно сумме левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией , равной половине начального отклонения.
В случае полубесконечной струны, кроме начальных условий (2.74), заданных при , необходимо добавить еще граничное условие (конец предполагается в точке )
(2.76) |
для закрепленной в точке струны,
(2.77) |
для свободного конца в точке ,
.
для упругого закрепления в точке .
В случае однородных граничных условий (2.76) или (2.77) решение задачи о колебании полубесконечной струны сводится к решению задачи о колебании бесконечной струны путем продолжения начальных условий на всю ось нечетным образом для условия (2.76), т.е. полагают , , и четным образом для условия (2.77), т.е. , .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.43. Найти форму достаточно длинной струны, определяемой уравнением , в момент времени , , если заданы начальные смещения и скорости:
а) ;
б) ;
в) .
Решение. По постановке вопроса надо найти решение задачи Коши (2.73), (2.74) в области: , . Оно определяется формулой Даламбера (2.75).
Случай а). Полагая в формуле Даламбера , , найдем смещение в любой точке и любой момент :
Откуда определяем форму кривой в указанные моменты времени:
, .
Кривые изображены на рис. 2.3.
Случай б) Начальные смещения струны равны нулю, т.к. . При колебательный процесс будет описан по формуле
В момент времени струна имеет форму косинусоиды: , а в момент она совпадает с осью абсцисс: .
Случай в). По условию, начальные скорости равны нулю, значит, . Тогда имеем
Форма струны в указанные моменты времени определяется уравнениями:
, .
Колебания однородной бесконечной струны.
Формула Даламбера
Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с более простой задачи – задачи о свободных колебаниях однородной бесконечной струны. Это задача, как было показано в п. 1.24, сводится к решению уравнения
|
(1.121) |
при начальных условиях
, , | (1.122) |
где функции и заданы на всей числовой оси. Никакие граничные условия на искомую функцию не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.
Для решения поставленной задачи преобразуем уравнение (1.121) к каноническому виду, содержащему смешанную производную (см. (1.93)). Для чего составим уравнение характеристик
,
которое распадается на два уравнения:
и .
Интегрируя эти уравнения, получим
и .
Согласно общей теории о замене переменных полагаем
, .
Тогда уравнение (1.121) преобразуется к виду
.
Как было показано в п.1.18 (см. формулу (1.87)), общее решение такого уравнения имеет вид
,
где и - произвольные функции. Возвращаясь к старым переменным и , получим общее решение волнового уравнения (1.121)
. | (1.123) |
Определим функции и таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (1.122)
,
.
Интегрируя последнее равенство по , получим
, где .
Из равенств
,
находим
, | (1.124) |
. | (1.125) |
Таким образом, мы определили функции и через заданные функции и , причем равенства (1.124) и (1.125) имеют место для любого значения . Заменяя аргумент в (1.124) на , а в (1.125) на и подставляя найденные функции и в (1.123), получим
и окончательно
. | (1.126) |
Формулу (1.126) называют формулой Даламбера.
Нетрудно проверить непосредственным дифференцированием, что полученное выражение для есть решение для волнового уравнения (1.121), удовлетворяющее начальным условиям (1.122). Для этого достаточно предположить, что функция дифференцируема, а функция - дважды дифференцируема. Способ вывода формулы (1.126) доказывает как единственность, так и существование решения задачи Коши. Из формулы (1.126) непосредственно видно также, что задача поставлена корректно – при любом конечном значении малому изменению функций и соответствует малое изменение решения.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!