Процедура многокритериального сравнения и выбора альтернатив

В настоящем разделе представлена процедура сравнения и выбора альтернатив (объектов), которая позволяет выявить и оценить противоречивость оценок альтернатив по нескольким несводимым к одному критериям и дать оценку риска при принятии решения (процедура «Еlectre» [44]).

Имеется множество объектов Е= {e_i}, i = 1,….n и множество критериев К (к = 1,2,…к). Например, в качестве объектов Е могут быть рассмотрены программные продукты (ПП), К – критерии оценки и выбора ПП. Также имеется множество коэффициентов Вк > 0, определяющих относительную важность критериев. Обозначим через Рк множество состояний объектов, которые допускает критерий к. Пусть α_i^k - оценка состояния объекта e_i по критерию к.

Предполагается, что множества Рк имеют структуру шкалы. Структура каждого из множеств Рк определяется своей шкалой, имеющей свое число делений и свое отклонение между двумя последовательными делениями (свой шаг). Это позволяет сравнивать объекты относительно одного критерия на основе сравнения их состояний, оценок, соответствующих этому критерию. Отношение α_i^k > α_j^k будет означать, что по критерию к объект e_i лучше, чем e_j, а отношение α_i^k α_j^k выражает, что объект e_i по критерию к, по крайней мере, так же хорош, как e_j. Возможность сравнения объектов относительно одного критерия служит основой для выявления принципов сравнения их многомерных состояний. Каждому объекту множества Е может быть поставлена в соответствие последовательность К состояний, оценок, взятых соответственно в Р1, Р2,…Рк.

Требуется обосновать сравнение между объектами и выбрать наилучший из них.

Отметим, что сам перечень К критериев, коэффициентов их значимости Вк, множества возможных состояний объектов по каждому критерию Рк и их количественные оценки могут быть получены, в частности, при реализации процедуры многомерной экспертизы. Соответственно каждому i - ому объекту может быть поставлен в соответствие вектор оценок по всем К критериям { α_i^k }.

Для осуществления процедуры сравнения объектов необходимо все множество критериев К разделить на два подмножества: C_ij – множество критериев, согласно которым e_i по крайней мере не хуже, чем e_j (показатели «соответствия» или «согласия»); D_ij – множество критериев, для которых это утверждение не выполняется (показатели «несоответствия» или «несогласия»).

Очевидно, что чем больше критериев входят в C_ij, тем более обоснованно принять предположение, что e_i предпочтительнее e_j. Кроме того, необходимо учесть различную важность критериев, определяемую коэффициентами Вк. Поэтому для оценки степени соответствия различных критериев нашей гипотезе, вводится показатель соответствия c_ij, определяемый по формуле (1):

 

 

 

(1).

Этот показатель обладает следующими свойствами:

1. 0 c_ij 1;

2. c_ij = 1, если α_i^k α_j^k для к = 1,2,…К.

Показатель соответствия рассчитывается для каждой пары объектов e_i и e_j. Результаты таких расчетов могут быть представлены в матрице n n, каждый элемент которой c_ij есть показатель соответствия предположению, что объект e_i предпочтительнее объекта e_j. Такая матрица, как правило, не симметрична.

Для осуществления процедуры сравнения необходимо учесть и критерии, противоречащие введенному предположению, что объект e_i по крайней мере, не хуже объекта e_j. С этой целью рассчитывается, так называемый, показатель несоответствия d_ij (S). Для его получения необходимо:

а) вычислить разности между оценками объектов α_i^k и α_j^k для и упорядочить полученные отклонения в невозрастающую последовательность;

в) определить показатель несоответствия d_ij (S) как s-й член построенной последовательности, нормированный по высоте самой большой шкалы.

Нормирование осуществляется с целью учета относительной значимости принимаемых во внимание критериев, так как высота шкалы (разность между высшей и низшей оценками) является неубывающей функцией коэффициента значимости критерия Вк. Очевидно, что такое определение показателя несоответствия, например, для s = 2, эквивалентно исключению из рассмотрения критерия с самым большим несоответствием, для s=3 – исключению двух критериев с наибольшим несоответствием и т. д., как бы ни было велико это несоответствие. Значения показателей несоответствия для всех пар (e_i, e_j) могут быть представлены в таблице D(s).

Сформулируем принцип сравнения объектов по нескольким критериям. Фиксируем значение параметра s, а затем задаем два числа с (порог соответствия) и d (порог несоответствия). Согласно К критериев и порогов с и d, объект e_i предпочтительнее объекта e_j, если и только если пара (e_i, e_j) приводит к показателю соответствия c_ij с и показателю несоответствия d_ij d.

Предпочтение, определяемое таким образом, можно представить в виде графа следующего вида:

G (c, d, s) = [E, U (c,d,s)],

где Е – множество вершин графа, соответствующее множеству рассматриваемых объектов;

U (c,d,s) – множество дуг графа, соответствующих сформулированным выше условиям.

Очевидно, что чем меньше требования к значениям c и d, тем более соответствующий граф насыщен дугами. Однако сравнение и выбор, проводимые на основе очень слабых требований к c и d, могут не отражать реальную ситуацию выбора. Поэтому необходимо последовательно и постепенно ослаблять требования к параметрам c и d и анализировать возникающие связи.

Таким образом, для каждой тройки (c,d.s) можно построить граф G (c, d, s) = [E, U (c, d, s)]. При этом множество вершин графа Е может быть разделено на два непересекающихся множества Е* и Е – Е*.

Подмножество Е* таково, что всякий элемент, не включенный в Е*, будет превзойден, по крайней мере, одним элементом, принадлежащим Е*. Это свойство называется свойством внешней стабильности подмножества Е*. Другое свойство этого множества – свойство внутренней стабильности означает, что никакой элемент Е* не превосходит другого элемента Е*, т. е. элементы Е* несравнимы между собой при заданных c, d, s.

Подмножество вершин графа, которое обладает этими двумя свойствами, носит название ядра графа. Можно доказать, что граф, не имеющий циклов, имеет ядро, причем единственное. Естественно предположить, что наличие цикла в графе указывает на эквивалентность объектов, составляющих этот цикл. Таким образом, всегда можно выделить ядро Е* графа G (c,d,s). Подмножество Е* может иметь различное число элементов. Если для заданных параметров с, d, s ядро включает очень много элементов – это означает, что противоречивость критериев такова, что не позволяет осуществить достаточное сравнение объектов при этих параметрах. Уменьшение требовательности к порогам с и d сократит число элементов Е* и, наоборот, усиление требований к ним влечет за собой обогащение Е*.

Итак, в результате исследования поведения графов и их ядер в зависимости от изменения параметров с, d, s можно предложить ответственному за решение небольшое подмножество объектов – кандидатов, рассматривая которые он может осуществить выбор, так как самый хороший объект наверняка находится в нем. Выбор среди элементов Е* может быть осуществлен на основании дополнительных критериев, экспериментов, расчетов, проведение которых для всех объектов Е может быть по каким-то причинам не рациональным (слишком дорого, слишком долго и т. д.). Таким образом, метод позволяет формализовать выбор одного объекта среди многих.

Кроме того, исследование поведения графов и их ядер с изменением с, d, s позволяет установить некоторую классификацию, упорядочивая объекты множества Е в последовательность, благодаря которой каждый объект может быть сравним с другим по своей позиции в этой последовательности. Исследование таблиц С и D(s) помогает определить, какие из сравниваемых объектов являются «близкими».

Таким образом, анализ ситуации в условиях многокритериального выбора на основе данной процедуры реализуется в несколько этапов:

1. Постановка задачи.

2. Формирование многомерного пространства решений.

3. Оценка весов значимости критериев.

4. Формирование шкал измерения.

5. Определение показателей соответствия и несоответствия.

6. Оценка и сравнение альтернативных вариантов решений на основе задания пороговых значений показателей соответствия и несоответствия.

7. Выбор наиболее предпочтительной альтернативы.

Многокритериальное сравнение объектовосуществляется в несколько шагов, соответствующих уровням достоверности и степени риска принимаемого решения. Сравнение объектов является эвристической процедурой. Выбор порогов достоверности и риска осуществляется ЛПР и зависит, с одной стороны, от сложности анализируемой ситуации (степени противоречивости исходных данных) и, с другой – от индивидуальных предпочтений ЛПР.

Перечень критериев К, значения их весов Вк и оценки могут быть получены на основе процедуры многомерной экспертизы. Для этого формируется группа экспертов. Каждый эксперт формулирует существенные, с его точки зрения, признаки осуществляемого выбора (перечень возможных критериев). После этого формируется полный перечень признаков, названных всеми экспертами. Далее определяются приоритеты признаков на основе парного сравнения объектов. Следующим этапом экспертизы является оценка объектов по каждому критерию, т.е. получение оценок . Оценка вначале может осуществляться в качественных шкалах (оценках типа – очень высокая, высокая, средняя и т.д.). Полученные качественные оценки уточняются и переводятся в количественные. Результатом этапа является получение оценок всех объектов по всем критериям - { }. Таким образом, мы получаем необходимый массив данных для последующего проведения процедуры многомерного сравнения.

Проиллюстрируем возможности применения данного метода на примере выбора программных продуктов (Приложение 4).