Однопродуктовая статическая модель

Модель управления запасами простейшего типа характеризуется 1) постоянным во времени спросом, 2) мгновенным пополнением запаса, 3) отсутствием дефицита.

На рис. 1. показано изменение уровня запаса во времени. Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу времени) равна . Наивысшего уровня запас достигает в момент поставки заказа размером у (предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой). Уровень запаса достигает нуля спустя единиц времени после получения заказа размером у.

Рис. 1.

Чем меньше размер заказа у, тем чаще нужно размещать новые заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться. С другой стороны, с увеличением размера заказов уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже (рис. 2).

Рис. 2.

Так как затраты зависят от частоты размещения заказа и объема хранимого запаса, то величина у выбирается из условия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат.

Пусть К – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении и предположении, что затраты на хранение единицы заказа в единицу времени равны h. Следовательно, суммарные затраты в единицу времени TCU (y)как функцию от у можно представить в виде

TCU (y) = (Затраты на оформление заказа в единицу времени) + (Затраты на хранение запасов в единицу времени) =

.

Как видно из рис. 1, продолжительность цикла движения заказа составляет и средний уровень запаса равен у/2.

Оптимальное значение у получается в результате минимизации TCU (y)no у. Таким образом, в предположении, что у – непрерывная переменная, имеем

откуда оптимальное значение размера заказа представляется выражением

Можно доказать, что у^* доставляет минимум TCU (у),показав, что вторая производная в точке у^* строго положительна. Полученное выше выражение для размера заказа обычно называют формулой экономичного размера заказа Уилсона.

Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ у^* единиц продукции через каждые единиц времени. Оптимальные затраты TCU (у^*), получаемые путем непосредственной подстановки, составляют .

Рис. 3.

Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок выполнения заказа (временное запаздывание) L от момента размещения заказа до его действительной поставки. Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна определять точку возобновления заказа. Рис. 3 иллюстрирует случай, когда точка возобновления заказа должна опережать на L единиц времени ожидаемую поставку. В практических целях эту информацию можно просто преобразовать, определив точку возобновления заказа через уровень запаса, соответствующий моменту возобновления заказа. На практике это реализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достижения очередной точки возобновления заказа. Возможно, по этой причине модель экономичного размера заказа иногда называют моделью непрерывного контроля состояния заказа. Следует заметить, что с точки зрения анализа в условиях стабилизации системы срок выполнения заказа L можно всегда принять меньше продолжительности цикла t ₀. Справедливость этого положения подтверждается следующим примером.

Пример 2.1. Ежедневный спрос на некоторый товар составляет около 100 ед. Затраты на размещение каждого запаса постоянны и равны 100 долл. Ежедневные затраты на хранение единицы запаса составляют 0,02 долл. Нужно определить экономичный размер партии и точку заказа при сроке выполнения заказа, равном 12 дням.

Из приведенных выше формул для экономичного размера партии получаем

Соответствующая оптимальная продолжительность цикла составляет

Так как срок выполнения заказа равен 12 дням и продолжительность цикла составляет 10 дней, возобновление заказа происходит, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на два дня. Таким образом, заказ размером у^* = 1000 размещается, когда уровень запаса достигает 2´100 = 200 ед.

Следует заметить, что «эффективный» срок выполнения заказа принят равным 2, а не 12 дням. Это объясняется тем, что этот срок больше, чем . Однако после стабилизации системы (в этом примере она достигается за два цикла) можно считать, что срок выполнения заказа равен при . В описанных условиях в любой момент времени имеется более одного размещенного, но еще не выполненного заказа.