Лекция 16. Проведение эксперимента

1). Реализация плана эксперимента. Ошибки параллельных опытов.

2). Оценка однородности выборочных дисперсий отклика.

 

Реализация плана эксперимента. Ошибки параллельных опытов.

Реализации плана эксперимента должна предшествовать тщательная подготовка, включающая: сбор и отладку опытной установки, проверку и калибровку измерительных приборов, подготовку исходного сырья, подготовку специального журнала. Журнал оформляют в соответствии с методикой и планом эксперимента так, что бы была ясна последовательность действий. Первую страницу журнала посвящают обычно формулировке цели исследований и характеристике отклика или откликов. На второй странице перечисляются факторы и помещается таблица их уровней и интервалов варьирования, указываются единицы измерения. Матрицы планирования заполняются отдельно с предусмотрением возможности дополнения ее вспомогательными столбцами, сведения которых призваны облегчать анализ и обработку опытных данных. В матрице обязательно должен быть столбец повторных опытов, которые не следует путать с повторными измерениями. При составлении рабочей матрицы целесообразно также включать столбцы для отметки даты проведения опытов и фамилии лаборантов, если опыты производят несколько человек. Отдельные страницы журнала надо отвести для расчетов, связанных с оценкой необходимых для эксперимента ресурсов и анализом полученных после проведения эксперимента результатов.

Первым шагом такого анализа является определение ошибки параллельных опытов. Известно, что повторные или параллельные опыты, т.е опыты, проведения при одних и тех же условиях, не дают полностью совпадающих результатов, потому что всегда существует ошибка опыта (ошибка воспроизводимости). Эту ошибку и надо оценить по параллельным опытам. Для этого опыт воспроизводится в одинаковых условиях n раз и затем определяется среднее арифметическое всех результатов, т.е в каждой строке плана определяется . Отклонение результата любого опыта в i -ой строке есть разница ∆i = . Наличие этой разности свидетельствует об изменчивости значений повторных опытов. Если отклик подчиняется нормальному распределению, эти разности ∆i для всех повторных опытов должны быть статистически однородными. Статистическая однородность означает нахождение реализаций СВ в пределах ее возможных значениях. Поэтому значительное отличие любой из этих разностей от других должно вызывать подозрение либо в нарушении нормального закона распределения отклика, либо в допущении грубой ошибки в регистрации отклика, например, из-за сбоя в работе регистрирующей аппаратуры. В любом случае грубые ошибки должны быть исключены. Для этого можно воспользоваться несколькими критериями, наиболее распространенным из которых является так называемый R -критерий (критерий максимальных отклонений). Его статистика имеет вид:

или

Эти статистики подчиняются r -распределению с числом степеней свободы , которые при больших n близко к нормальному.

Процедуры использования R -критерия типовые. Рассмотрим их на конкретном примере. Пусть имеется n повторных наблюдений в любой (произвольной) строке плана (поэтому индекс «i» опускаем для упрощения записи): Есть подозрение, что одно из наблюдений несовместимо с остальными. Для проверки достоверности этого факта формируется система гипотез:

Проверка гипотез осуществляется по R -критерию по общей схеме для случая двухсторонней критической области, для чего вычисляется:

По уровню значимости α и числу степеней свободы определяют критические точки . Если или ,то гипотеза отключается и результат считается грубой ошибкой, в силу чего из дальнейшего рассмотрения исключается. В таблицах R -статистики даны критические точки для различных уровней значимости. Поэтому на практике ориентируются на модуль разности . Пример:

Результат последнего опыта поставим под сомнение. Проверка:

α=0,05; ⟹

Вывод: т.к. , то наблюдение может быть признано грубым.

В тех случаях, когда n велико и r -распределение близко к нормальному, можно для исключения грубых отклонений воспользоваться критерием 3σ: если ни одно из наблюдений не выходит за пределы 3σ (точнее 3S), то допустимо считать все наблюдения совместными.

 

Оценка статистической однородности выборочных дисперсий отклика. (Для различных условий эксперимента)

После проверки совместимости результатов повторных опытов будут определены оценки дисперсии отклика во всех строках плана (выборочные дисперсии):

где - число повторных опытов в i -той строке плана.

Теперь надо проверить статистическую однородность этих оценок, предполагая их взаимную независимость. Сущность проверки сводится к проверке основной гипотезы

Для этого можно воспользоваться критерием Бартлетта, основанном на статистике:

M= (16.1)

где ,

Если гипотеза верна и все , т.е в каждой строке плана проведено хотя бы пять повторных опытов, то отношение

B=M

распределено приближено как с степенями свободы.

Так как распределение статистики M не всегда достаточно хорошо аппроксимируется - распределением (в частности, такое приближение не является удовлетворительными, если некоторые из равны 1,2 или 3), то для отыскания критических значений М предложены таблицы, основанные на уточнении указанной аппроксимации. Такие таблицы содержатся в сборнике Л.Н Большева и Н.В Смирнова «Таблицы математической статистики», выпущенном издательством «Наука» 1983 г.(Таблицы 4.3а)

Эти таблицы позволяют определить критические точки для уровней значимости α=0,01 и α=0,05 в зависимости от N, а также от

 

(16.2)

Входом в таблицы являются α, N (в указанном сборнике используется обозначение k вместо N) и C₁. Параметр C₃ вычисляется только в отдельных случаях. Таблицы содержат критические точки для N 3, т.к при N=2 можно воспользоваться критерием Фишера. Прежде чем пользоваться указанными таблицами необходимо ознакомиться с правилами применения критерия Бартлетта, изложенными на с. 47…48 сборника.

Критерий Бартлетта предполагает правостороннюю критическую область. Поэтому, если окажется, что при проверке основной гипотезы расчетное значение статистики М, т.е величина , вычисленная по зависимости (16.1), при , рассчитанном по формуле (16.2), больше критического значения , то основная гипотеза отвергается. При этом следует помнить, что если все оценки получены по выборкам из совокупностей, распределения которых существенно отличны от нормальных, то М-критерий может с большой вероятностью отвергнуть гипотезу , когда она верна.

Если гипотеза принята, то общая оценка дисперсии отклика определяется как средневзвешенная:

В частном случае, когда число повторных опытов во всех строках плана одинаково, т.е = =…= , однородность выборочных дисперсий можно проверить, используя критерий Кокрена, статистика которого имеет вид:

(16.3)

Распределение этой статистики связано с двумя числами степеней свободы: и .

Критические значения этой статистики (критическая область также правосторонняя) даны в табл. 4.3б вышеуказанного сборника для уровней значимости α=0,05. Входом в таблицы являются величины α, , а коментарий к ним изложен на стр. 48…49 сборника. Если при проверке основной гипотезы окажется что G_p, полученное по формуле (16.3), больше , то гипотеза отклоняется. В случае принятия общая оценка дисперсии отклика определяется как среднее арифметическое :

Критерий Кохрена отличается меньшей мощностью, нежели критерий Бартлетта. Поэтому во всех случаях предпочтительнее пользоваться последним.

Если с основной гипотезой конкурирует гипотеза , согласно которой одна из дисперсий больше всех остальных, равных друг другу, т.е если

,

причем i заранее неизвестен, то при мощности обоих критериев будут асимптотически эквивалентными.

Лекция 17. Обработка результатов эксперимента (заключительные этапы регрессионного анализа).

1). Проверка значимости коэффициентов регрессии.

2). Проверка адекватности модели

 

Проверка значимости коэффициентов регрессии.

Если целью эксперимента являлось исследование влияния факторов на отклик, то его итогом, как уже отмечалось, будет построение математической модели, которая в простейшем случае, когда постулируется линейная регрессия, имеют вид:

Коэффициенты этой модели являются оценками и, следовательно, нуждаются в проверке их статистической значимости. Такая проверка проводится для каждого из и путём проверки гипотез:

Для чего используется критерий, основанный на статистике Стьюдента

где

Следовательно, при наличии повторных опытов (предполагается ) имеем

Поэтому,

С числом степеней свободы v =N(n-1)

В общем случае, когда различны в разных строках плана, имеем:

и поэтому,

С числом степеней свободы

Общий случай:

D = D

D

 

Тогда:

Если , то:

 

Если , то гипотеза отклоняется и коэффициент признаётся значимым. В противном случае коэффициент статистически незначим и, следовательно, соответствующий фактор не оказывает существенного влияния на отклик, вследствие чего слагаемое из модели исключается. Так осуществляется отсеивание факторов, слабо влияющих на отклик.

По такой же схеме производится проверка значимости коэффициентов всех эффектов взаимодействия, если они присутствуют в математической модели.

Можно проводить эту же проверку путём построения доверительного интервала для каждого из коэффициентов регрессии. Для этого определяются величина:

Где - квантиль t -распределения для доверительной вероятности

Нетрудно видеть, что такой подход является разновидностью первого. Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

В общем случае статистическая незначимость коэффициента регрессии может быть вызвана не только слабым влиянием фактора, но и другими причинами, а именно: мал интервал варьирования ; велика ошибка опыта из-за существенного влияния неконтролируемых факторов; значение оказалось близким к точке частного экстремума, в которой . Поэтому решение должно приниматься на основе анализа физической сущности процесса. В любом случае надо стремиться продолжить испытания, расширив интервал по незначимым факторам и принять меры по уменьшению ошибки опыта.

Проверка адекватности модели

Полученная по итогам эксперимента регрессионная модель должна быть проверена на адекватность, т.е. необходимо убедиться в том, что она верно отражает характер процесса и, следовательно, её можно использовать в составлении с целевым предназначением.

Сущность проверки заключается в проверке гипотезы о том, что предсказываемые моделью расчётные значения отклика, обозначаемые через , отклоняются от опытных данных на величину, которая не превышает некоторый наперёд заданный уровень. Формально это сводится к проверке гипотезы о двух дисперсия – дисперсии отклика и, так называемой, дисперсии адекватности . Оценки последней определяются выражением:

= …… ……..(17.1)

Где – расчетное (предсказанное моделью) значение отклика в i -той строке плана;

l - число коэффициентов регрессии, оказавшихся незначимыми.

Зависимость (17.1) используется в тех случаях, когда план эксперимента является регулярным, т.е. когда для всех строк плана. В случае нерегулярности плана используется формула:

,

Напомним, что соответствующие оценки дисперсии отклика определяются зависимостями:

,………..(17.2)

Или

,.(17.3)

Применение формул (17.2) и (17.3) оправданно лишь при условии однородности дисперсий отклика во всех строках плана.

Формулируемая система гипотез имеет вид:

Для проверки используется критерий Фишера, т.е. статистика:

F=

С числом степеней свободы и формула или . Если , то модель считается адекватной. Очевидно, что проверка адекватности возможна при . Когда гипотеза адекватности принимается, модель может использоваться для управления процессом. В случае неадекватности модели возможны следующие решения: переход к нелинейной модели (учёт взаимодействий); продолжение испытаний при уменьшенных интервалах варьирования факторов; продолжение испытаний из нового центра плана.

Рассмотренные процедуры определения значимости коэффициентов регрессии и оценки адекватности модели являются заключительными этапами регрессионного анализа.