Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производную: (1)

Обычно мы будем иметь дело с уравнениями, которые можно разрешить относительно производной (2)

Если в (2) положить , то уравнение (2) можно записать в симметричной форме: (3)

Здесь переменные x и y равноправны.

Иногда бывает выгодно рассматривать х как функцию y. В этом случае часто применяют форму записи (3).

Задача Коши.

Пусть будет общим решением уравнения (2). Это общее решение определяет семейство интегральных кривых. Для того чтобы из этого семейства выделить какое-либо частное решение, необходимо задать еще дополнительные условия, в частности, частное решение можно выделить путем задания на плоскости точки , через которую проходит интересующая нас интегральная кривая. Следовательно, возникает задача отыскания такого решения уравнения , которое при заданном принимает заданное значение .

Это записывают так: (4)

Такая задача называется задачей Коши.

Условие называется начальным условием. Начальные условия необходимы для определения соответствующего значения произвольной постоянной С. Покажем на примере как вычисляется С.

Пусть требуется среди решений уравнения (5)

найти такое, которое при обращается в нуль, т.е. . (6)

Общим решением служит функция (7)

Так как требуется, чтобы выполнялось (6), то должно быть , а это возможно только при . Следовательно, частное решение, удовлетворяющее условию (6), получается из общего решения при , т.е. . Это и есть решение задачи Коши.

Основное свойство общего решения:

Общее решение дифференциального уравнения обладает тем свойством, что из него по любому заданному допустимому начальному условию может быть найдено частное решение, удовлетворяющее этому условию. Это означает, что подставив в общее решение вместо и вместо , получаем уравнение относительно С: , из которого всегда может быть найдено значение и притом единственное. Функция служит искомым частным решением.

Замечания:

1. Сформулированное основное свойство общего решения справедливо при определенных требованиях, наложенных на функцию . Эти требования даются теоремой существования и единственности.

2. Допустимыми начальными условиями называются такие условия, когда точка , где D – область определения функции .

3. Пусть будет общим решением некоторого дифференциального уравнения.

Условие Липшица

Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную в прямоугольнике К:

Определение. Если для любого и любых двух значений и переменной :

, существует такое, не зависящее от х число , что выполнено неравенство: (1), то говорят, что функция в области К удовлетворяет условию Липшица с постоянной L.

Замечания:

1. Если в области К имеет непрерывную частную производную , то всегда найдется такое L, что условие (1) будет выполнено. Действительно, тогда по формуле Лагранжа (2),

– лежит между и .

В силу непрерывности в К и замкнутости области К, в К ограничена, т.е. , где L – некоторая константа. В этом случае, в частности, за L можно принять .

2. Условие Липшица (1) более слабое, чем существование частной производной , так как оно может быть выполнено и в том случае, когда существует не всюду в К.