Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-10-08 | 317 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Эти уравнения самые простые. При решении какого-либо уравнения его стараются свести к уравнению с разделяющимися переменными.
А. Уравнение с разделенными переменными
Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:
(1)
Переменные разделены, каждая из них находится только в той части равенства, где ее дифференциал. и – заданные функции.
Теорема. Общим интегралом уравнения (1) служит соотношение . (2)
Теорема. Частным решением уравнения (1), удовлетворяющим начальному условию будет функция , определенная из равенства . (4)
В. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: (5)
В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на произведение . Тогда получим: . (6)
Это уравнение с разделенными переменными. При переходе от уравнения (5) к уравнению (6) мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение , именно или . (7)
Уравнение (7) есть конечное (без производных) уравнение относительно . Его решением служат , , … и т.д. Заметим, что константы служат решениями уравнения (5), т.к. и .
Общим интегралом (5) будет . (8)
Если решения получаются из (8) при подходящем выборе С, то такие решения суть частные, если же подобрать нужное С невозможно, то они особые решения.
Следовательно, если у уравнения (5) есть особые решения, то соответствующие им графики, т.е. интегральные кривые – это прямые параллельные оси ОХ.
Частным решением уравнения (5), удовлетворяющим начальному условию будет функция , определенная уравнением:
. (9)
Пример. Для уравнения найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию .
|
Решение.
а) Общий интеграл. Делим на . .
Отсюда или – общий интеграл.
б) Частное решение.
Частное решение: .
с) Особое решение.
Однородные уравнения.
Определение. Уравнение (1) называется однородным, если может быть представлена как функция отношения своих аргументов, т.е. (2)
Таким образом, однородное уравнение имеет вид: (3)
Теорема. Однородное уравнение (3) имеет общий интеграл: . (4)
Замечание 1. В доказательстве теоремы мы предполагаем, что . Рассмотрим тот случай, когда . Здесь имеются две возможности.
а) Тогда и уравнение (3) принимает вид: .
Это уравнение с разделяющимися переменными и здесь никаких преобразований делать не нужно.
б) уравнение удовлетворяется лишь при определенных значениях . В этом случае могут быть потеряны решения . Интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Уравнение однородное. Полагаем . .
Если , то . Отсюда .
– общий интеграл.
Может быть потеряно решение или .
Действительно, есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении С, следовательно есть особое решение.
Замечание 2. Формулу (4) запоминать не следует. Надо уметь ее выводить в каждом конкретном случае, как это сделано в примере.
Замечание 3. Для интегрирования уравнения более общего вида, чем (3) . (6)
(обобщенное однородное) сначала делают замену неизвестной функции и независимой переменной по формулам ; выбирая и такими, чтобы исчезли свободные члены в числителе и знаменателе аргумента в (6), тогда (6) приводится к однородному уравнению.
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!