Закон полного тока. Магнитный поток

· Закон Ампера: сила , действующая на элемент проводника с током в магнитном поле , равна

.

· Сила Лоренца: сила , действующая на заряд , движущийся со скоростью в магнитном поле , равна

.

· Связь магнитной индукции и напряженности магнитного поля для изотропного магнетика .

· Закон Био-Саварра-Лапласа , где - магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током ; - магнитная проницаемость; - магнитная постоянная; - радиус-вектор, проведенный от элемента тока до исследуемой точки.

· Магнитное поле, создаваемого отрезком прямолинейного проводника с током:

,

где - расстояние от оси проводника; и - углы между элементами тока, соответствующими началу и концу отрезка проводника с током, и радиусами-векторами, проведенными от этих элементов, до точки наблюдения.

Для проводника с током конечной длины , так как и .

· Магнитное поле на оси кругового тока радиусом

,

где - расстояние от центра витка с током до точки наблюдения.

Соответственно поле в центре витка с током рассчитывают через формулу .

· Магнитное поле движущегося заряда , движущегося в вакууме со скоростью

.

· Закон полного тока

,

где - циркуляция вектора по замкнутому контуру; - проекция вектора напряженности в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке; - сумма токов, охватываемых этим контуром.

· Магнитное поле на средней линии тороида

,

где - число витков, приходящихся на единицу длины средней линии соленоида.

Магнитное поле бесконечно длинного соленоида вычисляют по этой же формуле; поле соленоида конечной длины вычисляют по формуле

,

где и - углы между осью соленоида и радиус-векторами, проведенными из точки наблюдения к противоположным концам обмотки соленоида.

· Магнитный момент контура с током , где - единичный вектор, ортогональный плоскости контура и направленный по правилу буравчика; - сила тока в нем; - площадь контура.

· Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле

.

· Потенциальная энергия контура с током в магнитном поле

,

где - угол между векторами и .

· Магнитный поток вектора через произвольную поверхность , помещенную в неоднородное поле,

,

где - угол между вектором магнитной индукции и нормалью к элементу поверхности; - площадь элемента поверхности; - проекция вектора напряженности на нормаль.

· Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля

,

где - поток вектора напряженности через замкнутую поверхность .

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.

Электромагнитная индукция.

Энергия магнитного поля

 

· Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

,

где - изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром; - сила тока в контуре.

· Основной закон электромагнитной индукции , где - электродвижущая сила индукции; - число витков контура; - сила тока в контуре.

· Разность потенциалов на концах проводника длиной , движущегося со скоростью в однородном магнитном поле

.

· Электродвижущая сила индукции , возникающая в рамке, содержащей витков, площадью , при вращении рамки с угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией

.

· ЭДС самоиндукции , где - индуктивность контура.

· Индуктивность соленоида , где - число витков на единицу длины; - объем соленоида.

· Ток замыкания в цепи с индуктивностью и активным сопротивлением

,

где - ЭДС источника.

· Ток после размыкания цепи , где - сила тока в цепи при .

· Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре с индуктивностью

.

· Объемная плотность энергии магнитного поля

.

 

Магнитные свойства вещества

· Намагниченность диэлектрика .

· Связь намагниченности в изотропном магнетике с напряженностью поля , где - магнитная восприимчивость.

· Связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости : .

· Связь магнитной индукции, напряженности и намагниченности магнетика

.

Система уравнений Максвелла

1. . 2. .

3. . 4. . 5. . 6. . 7. .

Глава 4. Колебания

Гармонические колебания

· Уравнение гармонических колебаний

,

где - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; - время; , , - соответственно амплитуда, угловая частота и начальная фаза колебаний; - фаза колебаний в момент времени .

· Угловая частота колебаний или , где и - частота и период колебаний.

· Скорость точки, совершающей гармонические колебания

.

· Ускорение гармонических колебаний

.

· Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты:

- амплитуда результирующего колебания

,

где и - амплитуды составляющих колебаний; и - их начальные фазы.

- начальная фаза результирующего колебания

.

· Уравнение траектории точки при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний с амплитудами и и начальными фазами и

.

· Дифференциальное уравнение колебаний материальной точки

,

где - собственная частота колебательной системы.

· Полная энергия механических гармонических колебаний .

· Полная энергия электромагнитных колебаний .

· Периоды колебаний гармонических колебательных систем:

- пружинный маятник: , где - коэффициент жесткости пружины; - масса тела;

- математический маятник: , где - длина нити маятника;

- физический маятник: , где - момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний;

- электромагнитный колебательный контур: , где и - соответственно индуктивность и емкость контура.

 

Затухающие колебания

· Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

,

где - для механических колебаний, где - коэффициент сопротивления;

- для электромагнитных колебаний, где - активное сопротивление контура.

· Уравнение затухающих колебаний , где .

· Угловая частота затухающих колебаний .

· Характеристики затухающих колебаний:

1) время релаксации ;

2) логарифмический декремент затухания , где и - амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих друг от друга по времени на период ;

3) добротность колебательной системы

или ,

где - энергия системы; - убыль энергии системы за период;

- число колебаний за время релаксации.

· Добротность колебательных систем:

- пружинный маятник: ;

- электромагнитный колебательный контур: .

 

Вынужденные колебания

· Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний

,

где , - амплитудное значение силы и круговая частота внешнего воздействия.

· Частное решение дифференциального уравнения вынужденных механических колебаний .

· Амплитуда вынужденных механических колебаний

.

· Фаза вынужденных механических колебаний

.

· Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний

,

где , - амплитудное значение ЭДС и круговая частота внешнего источника.

· Частное решение дифференциального уравнения вынужденных электромагнитных колебаний ,

где или .

· Амплитуда вынужденных механических колебаний

.

· Фаза вынужденных механических колебаний

.

· Амплитудное значение тока при вынужденных электромагнитных колебаниях

,

где - полное колебание контура.

· Резонансная частота вынужденных колебаний .

· Резонансная амплитуда вынужденных механических колебаний

.

 

Глава 5. Волны

Волновые процессы

· Волновое уравнение для плоской бегущей гармонической волны, распространяющейся вдоль оси х:

,

· Уравнение плоской бегущей гармонической волны

,

где - смещение точек среды с координатой в момент времени ; - угловая частота; - волновое число; ; - скорость распространения волны в среде (фазовая скорость); - длина волны; ; и - период и частота колебаний.

· Уравнение сферической волны

,

где определяется свойствами источника; - расстояние от источника до точки наблюдения.

· Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми (разность хода) равно : .

 

Упругие волны

 

· Фазовая скорость продольных волн в упругой среде:

- в твердых телах , где - модуль Юга; - плотность вещества;

- в газах или , где - показатель степени адиабаты; - универсальная газовая постоянная; - термодинамическая температура; -молярная масса; -давление газа.

· Объемная плотность кинетической энергии в упругой волне

.

· Объемная плотность потенциальной энергии в упругой волне

.

· Объемная плотность полной энергии

или .

· Среднее за период значение объемной плотности энергии

или .

· Вектор плотности потока энергии (вектор Умова)

,

где - вектор скорости волны.

· Интенсивность звука , где - скорость звука в среде.

· Связь групповой и фазовой скорости

.

· Акустический эффект Доплера

,

где - частота звука, воспринимаемая движущимся приемником; - частота звука, воспринимаемого приемником; - скорость звука в среде; - скорость приемника относительно среды; - скорость источника относительно среды.

 

Электромагнитные волны

· Волновые уравнения для напряженностей электрического и магнитного полей плоской бегущей гармонической электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси х:

,

,

где и - напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной волне; - фазовая скорость электромагнитной волны в среде с показателем преломления : ; - скорость света в вакууме; .

· Уравнения для напряженностей электрического и магнитного полей в плоской бегущей гармонической электромагнитной волне

,

.

· Связь напряженностей электрического и магнитного полей в плоской бегущей гармонической электромагнитной волне

.

· Объемная плотность энергии электромагнитного поля

или

.

приемника относительно среды; - скорость источника относительно среды.

· Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля

,

где - вектор скорости волны.

· Интенсивность электромагнитной волны .

· Эффект Доплера для электромагнитных волн: если источник, испускающий волну частотой , движется со скоростью под углом к направлению на наблюдателя, то воспринимаемая частота равна

.

 

Глава 6. Волновые явления

Интерференция волн

· Оптический путь световой волны

,

где - геометрический путь световой волны в среде с показателем преломления .

· Оптическая разность хода двух световых волн

.

· Связь разности фаз с оптической разностью хода

,

где - длина волны в вакууме.

· Длина когерентности световой волны в вакууме

.

· Радиус когерентности волны, создаваемой протяженным источником на расстоянии от него

,

где - линейный размер источника в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

· Условия максимумов и минимумов интерференции двух волн, распространяющихся в одном направлении

- условие максимума ;

- условие минимума .

· Условия максимумов и минимумов интерференции световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей тонкой плоскопараллельной пластины толщины :

- условие максимума

,

- условие минимума

,

где - угол преломления; - номер максимума или минимума.

В проходящем свете условия максимумов и минимумов интерференции обратны условиям в отраженном свете (меняются местами).

· Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в проходящем)

,

где - радиус кривизны линзы, соприкасающейся с плоскопараллельной стеклянной пластинкой.

Радиусы темных колец в отраженном свете (или светлых в проходящем)

.

 

Дифракция волн