Лекция 4. Арифметические основы ЭВМ.

 

План: 1. Отображение информации в ЭВМ.

2. Позиционные системы счисления.

 

Отображение информации в ЭВМ. Как уже отмечалось ранее, внутримашинное представление информации соответствует её отображению в виде цифровых кодов. В результате все действия ЭВМ характеризуются как вычислительные, т.е. такие, которые выполняются в форме прямых операций над числами. Отсюда следует, что одним из основополагающих понятий вычислительной техники является понятие числа.

Числом называется количественная характеристика объекта, отвечающая на вопрос «сколько».

При графическом способе отображения чисел вводится определённая символика в виде системы символов и правил использования этих символов для отображения значений числа. Такая символика позволяет только отображать числа, но не обеспечивает возможностей отображения операций над числами и возможностей определения результатов этих операций. Все эти возможности обеспечиваются системой счисления.

До настоящего времени известны 2 основных способа организации систем счисления. В соответствии с первым способом организуются так называемые символьные системы счисления, а в соответствии со 2-ым способом позиционные системы счисления. И в тех, и в других системах базовым понятием является цифра.

Цифрой называется элементарный символ, используемый для отображения числа. Всякое число отображается как составная конструкция в виде последовательности цифр. В символьной системе счисления каждая цифра имеет одно и то же значение вне зависимости от того, какое место оно занимает в общей записи числа. Примером символьной системы счисления является известная римская система.

В современной практике повсеместно используются позиционные системы счисления. Они характеризуются тем, что цифра в составе записи числа имеет различное значение в зависимости от того, какое место (позицию) оно занимает в общей записи числа. Например: 333111=3*10⁵+3*10⁴+3*10³+1*10²+1*10¹+1*10⁰

Различные способы отображения числа предполагают понятия «отображённое число» и «истинное значение числа».

Отображённое число – это есть число, представленное с использованием определённой символики в определённой системе счисления.

Истинное значение числа есть само число как количественная характеристика объекта.

Среди всех позиционных систем истинное значение числа, совпадающее с его отображением, обеспечивает так называемая десятеричная система счисления. Поэтому данная система нашла самое широкое применение и повсеместно используется в обычной практике выполнения вычислительных операций. Во всех других системах счисления запись числа не совпадает с истинным значением числа, в связи с чем возникает необходимость вычисления истинного значения числа. Кроме того, возникает потребность в выполнении межсистемных преобразованиях чисел, т.е. перевода чисел из одних систем счисления в другие и выполнения эквивалентных операций над числами в различных системах счисления.

Позиционные системы счисления. В позиционной системе число а записывается в виде последовательности цифр, то есть имеет вид:

 

А=a₁a₂…a_n. a_n+1a_n+2…a_r

 

Здесь группа цифр а₁-а_n составляет целую часть числа, группа цифр a_n+1-a_r составляют дробную часть числа. Границу записи целой и дробной части определяет десятичная точка (символ). В данной записи каждая цифра в составе числа имеет значение, которое определяется позицией цифры в записи числа. Указанные позиции описываются по порядку влево и вправо от последней цифры целой части числа, которое имеет нулевую позицию. При этом нумерация позиции влево осуществляется с положительным знаком, а вправо с отрицательным знаком. С учётом произведённой нумерации позиции истинное значение числа А определяется как

 

|А|= a₁р^n-1a₂p^n-2…a_n p⁰, a_n+1 p^-1a_n+2 p^-2…a_r p^-r

 

где р –основание системы исчисления.

Основанием системы исчисления называется число, которое определяет количество цифр, используемых в данной системе исчисления для отображения произвольных чисел. Указанные цифры образуют базовый цифровой ряд позиционной системы исчисления. В десятеричной системе исчисления базовый цифровой ряд образуют цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. При этом основанием системы исчисления является число10.

Позиционные числа с фиксированной и плавающей точкой. В позиционной системе исчисления произвольное число может быть представлено двумя возможными способами:

а) способ с фиксированной точкой;

б) способ с плавающей точкой.

Числом а с фиксированной точкой называется такое число а со знаком, которое содержит целую и дробную часть, разделённые символом «десятичная точка». Способ представления числа с фиксированной точкой характеризуется тем, что значение числа размещается на цифровой разрядной сетке установленного формата. Данный формат определяет общую длину разрядной сетки, длину целой и дробной частей, а также положение десятичной точки, которое фиксируется в отдельном разряде. При этом запись значения числа осуществляется соответственно влево и вправо от десятичной точки. При таком способе представления числа возникают понятия «минимально представимые» значения в заданном формате и максимально представимое значение в заданном формате.

Числом, минимально представимым на заданном формате, называется такое число, которое содержит единицу в младшем дробном разряде, тогда как все остальные разряды заняты нулём.

Максимально представимое число в заданном формате характеризуется тем, что все цифровые разряды разрядной сетки заполнены старшей цифрой базового цифрового ряда используемой системы исчисления.

Всякое число, значение которого меньше минимально представимого, автоматически приравнивается к 0, который в данном случае называется машинным. Всякое число, значение которого превосходит максимально представимое, считается несуществующим и вызывает переполнение разрядной сетки, что является основанием для аварийного прекращения счёта.

Числом А с плавающей точкой называется такое число, запись которого имеет вид:

 

А=МЕР

 

где М – мантисса числа; Р – порядок числа; Е – признак числа с плавающей точкой.

Например: 1.3987Е2

Мантиссой числа с плавающей точкой называется число со знаком в виде числа с фиксированной точкой, на котором определяется истинное значение числа путём определения положения десятичной точки.

Порядок числа Р – это есть число с фиксированной точкой целого типа, которое определяет положение десятичной точки на мантиссе числа при отсчёте на этой мантиссе истинного значения числа.

Истинное значение числа с плавающей точкой определяется как

 

|А|= М*S

 

где S – основание системы исчисления.

Таким образом, при использовании формата с плавающей точкой на одной и той же мантиссе может быть воспроизведено бесконечное количество чисел, отличающихся на порядок. Эти числа воспроизводятся путём изменения значения р на единицу, что вызывает эффект точки, плавающей по мантиссе. Диапазон представлений чисел способом с плавающей точкой значительно превосходит диапазон представления чисел способом с фиксированной точкой при использовании одинаковой цифровой разрядной сетки для представления числа.

Представление числа способом с плавающей точкой предполагает обязательное использование мантиссы числа. При этом в общем случае не оговаривается способ организации такой мантиссы, в связи с чем одно и то же число может иметь бесконечное число вариантов записи. С тем, чтобы исключить элементы неоднозначности представления чисел вводится понятие нормализованной мантиссы.

Нормализованная мантисса - это такая мантисса, которая приведена к виду заранее обусловленного формата. Различают 2 основных формата нормализованных мантисс:

А) Математически нормализованная мантисса.

Б) Машино нормализованная мантисса.

Математически нормализованная мантисса характеризуется тем, что имеет нулевую целую часть, при этом старший разряд дробной части всегда представлен значащей цифрой. Например, число 375.05, представленное способом с плавающей точкой на математически нормализованной мантиссе, будет иметь вид: 0.37505Е3.

Машино нормализованная мантисса - имеет целую часть в виде одной значащей цифры. В данном случае число 375.05 будет иметь вид: 3.7505Е2.

Примечание: Обычно нормализация мантиссы предполагает определённые нормы обеспечения длины записи мантиссы. Так, представление числовых результатов при компьютерном счёте обычно осуществляется способом с плавающей точкой на машино нормализованной мантиссе, длина которой определяется моделью ЭВМ и версией ОС.

Двоичная система счисления. Современные средства цифровой вычислительной техники можно отнести к классу технических устройств, в которых реализована двоичная система счисления. Это связано с тем, что представление любого числа в двоичной системе основывается на использовании всего 2-ух цифр: 0 и 1, которые могут быть воспроизведены устройствами простейшей конструкции типа двухпозиционного переключателя.

Двоичная позиционная система счисления характеризуется тем, что её базовый цифровой ряд включает 2 цифры: 0 и 1. При этом основание системы счисления S=2.

Таблица соответствия основных десятиричных чисел двоичным числам

 

Дес. система	Дв. Система
	10000 B

Литература:

1. А.М. Ларионов, С.А. Майоров, Г.И. Новиков. Вычислительные комплексы, системы и сети.-Л.: Энергоатомиздат, 1987.

2. К. Хамахер, З. Вранешич, С. Захи. Организация ЭВМ. СПб.: Питер, 2003-848 с.

3. Э. Таненбаум. Архитектура компьютера.-СПб.:Питер, 2003-704с.