Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Напомним теорему сложения скоростей при сложном движении точки:

 

абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей:

Теорема сложения ускорений при сложном движении точки имеет вид:

,

где вектор

называется ускорением Кориолиса.

Таким образом,

 

абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.

Пример 3.3

Круглая трубка радиуса вращается вокруг горизонтальной оси по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью . Внутри трубки около ее точки колеблется шарик , причем так, что (Рис. 3.5). Определить скорость, касательное и нормальное ускорения в абсолютном движении шарика в любой момент времени.

 

Рис.3.5

Относительное движение шарика представляет собой движение по окружности радиуса с центром в точке по закону . Определим закон изменения дуговой координаты шарика в относительном движении:

Вычислим относительную скорость и относительное ускорение шарика:

 

Трубка сообщает шарику переносную скорость

и переносное ускорение

Угол между осью вращения трубки, вдоль которой направлен вектор ее угловой скорости, и вектором относительной скорости шарика равен , так что

 

 

Для определения направления ускорения Кориолиса удобнее всего воспользоваться правилом Жуковского.

Абсолютная траектория шарика в данном случае очевидна – это все та же окружность с центром радиуса . Используя теорему сложения скоростей, получаем:

 

 

Используя теорему Кориолиса (3.12), получаем:

 

 

 

Направления векторов указаны на Рис. 3.5. Ускорение Кориолиса и относительная скорость представлены на рисунке для случая

 

Пример 3.4

Лопатка рабочего колеса турбины, вращающегося против хода часовой стрелки замедленно с угловым ускорением , имеет радиус кривизны 0.2 м и центр кривизны в точке , причем м. Частица воды , отстоящая от оси турбины на расстоянии 0.2 м, движется по лопатке наружу и имеет скорость 0.25 м/с и касательное ускорение 0.5 м по отношению к лопатке. Определить абсолютное ускорение частицы в тот момент времени, когда угловая скорость турбины равна 2 рад/с.

Подвижную систему координат свяжем с рабочим колесом турбины (Рис. 3.6). Относительной траекторией частицы воды является кривая – лопатка турбины. Определим нормальное ускорение точки в относительном движении

 

 

Точка турбины описывает окружность с центром радиуса . Определим переносное ускорение точки:

 

 

Направление ускорения Кориолиса определяем по правилу Жуковского. Модуль ускорения Кориолиса равен

 

Используя теорему Кориолиса, найдем проекции абсолютного ускорения частицы на оси подвижной системы координат (Рис. 3.6):

 

 

 

 

Рис. 3.6		Рис. 3.7

 

Остается определить и . Для этого используем теорему косинусов (Рис. 3.7):

Отсюда

Таким образом,

Окончательно получаем:

 

Пример 3.5

Диск радиуса вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью . По ободу диска движется точка , имея относительно диска постоянную по модулю скорость . Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки .

Подвижную систему отсчета связываем с диском (Рис. 3.8). По отношению к диску, т.е. в относительном движении, точка движется равномерно со скоростью , описывая окружность радиуса с центром в точке . Определяем относительное ускорение точки:

 

 

Рассмотрим переносное движение – его совершает диск. Точка диска описывает окружность с центром , плоскость которой параллельна координатной плоскости . Переносная скорость

 

направлена по касательной к этой окружности в сторону вращения диска, т.е. перпендикулярно плоскости диска в отрицательном направлении координатной оси . Поскольку вращение диска по условию равномерное, отличным от нуля оказывается только осестремительное ускорение:

 

Вектор ускорения Кориолиса точки направлен перпендикулярно плоскости чертежа, в которой расположены векторы и , причем, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение направления вектора с направлением вектора видно против хода часовой стрелки. В указанном на Рис. 3.9 положении точки вектор ускорения Кориолиса направлен на нас, т.е. параллелен координатной оси в положительную сторону этой оси. На Рис. 3.9 это направление условно обозначено острием стрелки, заключенным в кружок. Модуль ускорения Кориолиса вычисляется по формуле:

 

.

 

Рис.3.8		Рис.3.9

 

 

При перемещении точки по диску направление ускорения Кориолиса не будет изменяться до тех пор, пока , т.е. пока (точка ). При пересечении точкой координатной оси ускорение Кориолиса обращается в нуль. При движении точки в нижней части диска, т.е. при , проекция ускорения Кориолиса на направление оси становится отрицательной и вектор направлен от нас (точки и ).

Таким образом,

 

Используя теорему сложения скоростей

 

 

находим проекции вектора абсолютной скорости на оси подвижной системы координат:

 

Используя теорему Кориолиса

 

находим проекции абсолютного ускорения точки на оси подвижной системы координат:

 

Примечание.

Последняя задача позволяет проиллюстрировать некоторые явления, связанные с вращением Земли, в частности, размыв берегов рек. Как видно, вращение Земли приводит к возникновению у частиц воды кориолисова ускорения, направленного перпендикулярно линии берегов. Наличие такого ускорения приводит к тому, что в северном полушарии дополнительно подмывается правый берег, который на прямолинейных участках рек заметно выше левого берега. В южном полушарии более высокий левый берег. Это явление в географии отражено в законе Бэра.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из сборника задач И.В.Мещерского: 22.10; 22.14; 22.17; 22.26; 23.1; 23.9; 23.13; 23.18; 23.19; 23.27; 23.29; 23.34; 23.47; 23.48; 23.49; 23.56.

 

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-23;

СР-24; СР-25.

КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ:

 

1. После практического занятия №7(15) проводится тест «МОДУЛЬ КБ».

ЛИТЕРАТУРА:

 

1. Антонов В.И., Белов В.А., Егорычев О.О., Степанов Р.Н. //Курс теоретической механики (теория и практика) – М.: Архитектура – С, 2011 г.
2. Мещерский И.В.// Сборник задач по теоретической механике. – Спб.: Лань, 2010 г.