Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекция №5-6

Векторы. Линейные операции над векторами.

Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

 

Величины, которые характеризуются не только численным значением, но и направлением, называются векторными. Геометрически векторную величину изображают в виде вектора.

Вектором называется направленный отрезок.

Векторы обозначаются двумя прописными буквами со стрелкой над ними, например , или строчной латинской буквой . Точка А – начало вектора, точка В – конец вектора.

Длиной или модулем вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Обозначение: или .

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: .

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны.

Векторы и называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

 

Линейные операции над векторами

1.Сложение векторов.

Суммой двух векторов и называется третий вектор , идущий из начала первого вектора в конец второго при условии, что второй вектор приложен к концу первого.

 

О

Построение суммы векторов таким методом называется правилом треугольника.

Существует другой способ построения суммы векторов – правило параллелограмма.

 

О

 

2. Вычитание векторов.

Разностью двух векторов и называется вектор , который в сумме с вектором будет равен вектору :

если .

 

 

Чтобы вычесть из вектора вектор , нужно привести и к общему началу и построить вектор , начало которого совпадает с концом вектора (вычитаемое), конец совпадает с концом вектора (уменьшаемое)

 

3. Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , длина которого равна произведению модулей , а направление совпадает с направлением вектора , если и противоположно направлению вектора , если

 

 

Свойства линейных операций над векторами:

1.

2.

3.

4.

5.

 

Разложение вектора на компоненты

Рассмотрим тройку единичных векторов , , , направленных вдоль осей координат соответственно: вектор вдоль оси ОХ, вектор вдоль оси ОУ, вектор вдоль оси ОZ. Эти векторы направлены в положительную сторону осей координат.

Векторы , , называются ортами.

Выразим произвольный вектор через единичные вектора , , .

z

А_z

 

 

A

A_y y

A_x

Вектор может быть представлен в виде

 

Такое представление вектора в виде называется разложением вектора по базису , , .

Векторы , , принято называть компонентами вектора по базису , , .

Лекция №5-6

Векторы. Линейные операции над векторами.

Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

 

Величины, которые характеризуются не только численным значением, но и направлением, называются векторными. Геометрически векторную величину изображают в виде вектора.

Вектором называется направленный отрезок.

Векторы обозначаются двумя прописными буквами со стрелкой над ними, например , или строчной латинской буквой . Точка А – начало вектора, точка В – конец вектора.

Длиной или модулем вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Обозначение: или .

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: .

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны.

Векторы и называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.