Оценка дисперсии, среднеквадратичное отклонение.

Оценка дисперсии (S²) и среднеквадратичного отклонения (S) производится по формулам:

Выборочная дисперсия (S²) определяется по формуле:

Где:

- объем выборки;

mi – частота встречаемости значения признака хi;

Х_i -случайные (текущие) величины;

X̅ – среднее значение случайных величин по выборке, рассчитывается по формуле:

Итак, дисперсия - это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности.

Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения. В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, мы просто рассчитываем среднюю арифметическую.

Разгадка магического слова «дисперсия» заключается всего в этих трех словах: средний – квадрат – отклонений.

Среднее квадратичное отклонение (СКО)

Извлекая из дисперсии квадратный корень, получаем, так называемое «среднеквадратичное отклонение». Встречаются названия «стандартное отклонение» или «сигма» (от названия греческой буквы σ.). Формула среднего квадратичного отклонения имеет вид:

.

Итак, дисперсия – это сигма в квадрате, или – среднее квадратичное отклонение в квадрате.

Среднеквадратичное отклонение, очевидно, также характеризует меру рассеивания данных, но теперь (в отличие от дисперсии) его можно сравнивать с исходными данными, так как единицы измерения у них одинаковые (это явствует из формулы расчета). Размах вариации – это разница между крайними значениями. Среднеквадратичное отклонение, как мера неопределенности, также участвует во многих статистических расчетах. С ее помощью устанавливают степень точности различных оценок и прогнозов. Если вариация очень большая, то стандартное отклонение тоже получится большим, следовательно, и прогноз будет неточным, что выразится, к примеру, в очень широких доверительных интервалах.

Поэтому в методах статистической обработки данных в оценках объектов недвижимости в зависимости от необходимой точности поставленной задачи используют правило двух или трех сигм.

Для сравнения правила двух сигм и правила трех сигм используем формулу Лапласа:

Ф — Ф ,

где Ф(x) – функция Лапласа;

= минимальное значение

β = максимальное значение

s = значение сигмы (среднее квадратичное отклонение)

a = среднее значение

В этом случае используется частный вид формулы Лапласа когда границы α и β значений случайной величины X равно отстоят от центра распределения a = M(X) на некоторую величину d: a = a-d, b = a+d. Или (1) Формула (1) определяет вероятность заданного отклонения d случайной величины X с нормальным законом распределения от ее математического ожидания М(X) = a. Если в формуле (1) принять последовательно d = 2s и d = 3s, то получим: (2), (3).

Правило двух сигм

Почти достоверно (с доверительной вероятностью 0,954) можно утверждать, что все значения случайной величины X с нормальным законом распределения отклоняются от ее математического ожидания M(X) = a на величину, не большую 2s (двух средних квадратических отклонений). Доверительной вероятностью (Pд) называют вероятность событий, которые условно принимаются за достоверные (их вероятность близка к 1).

Проиллюстрируем правило двух сигм геометрически. На рис. 6 изображена кривая Гаусса с центром распределения а. Площадь, ограниченная всей кривой и осью Оx, равна 1 (100%), а площадь криволинейной трапеции между абсциссами а–2s и а+2s, согласно правилу двух сигм, равна 0,954 (95,4% от всей площади). Площадь заштрихованных участков равна 1-0,954 = 0,046 (»5% от всей площади). Эти участки называют критической областью значений случайной величины. Значения случайной величины, попадающие в критическую область, маловероятны и на практике условно принимаются за невозможные.

 

Вероятность условно невозможных значений называют уровнем значимости случайной величины. Уровень значимости связан с доверительной вероятностью формулой:

= 1- ,

где q – уровень значимости, выраженный в процентах.

Правило трех сигм

При решении вопросов, требующих большей надежности, когда доверительную вероятность (Pд) принимают равной 0,997 (точнее - 0,9973), вместо правила двух сигм, согласно формуле (3), используют правило трех сигм.

Согласно правилу трех сигм при доверительной вероятности 0,9973 критической областью будет область значений признака вне интервала (а-3s, а+3s). Уровень значимости составляет 0,27%.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможными. Т.е. выборка высокоточная.

В этом и состоит сущность правила трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения (СКО).

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Уровень значимости принимают в зависимости от дозволенной степени риска и поставленной задачи. Для оценки недвижимости обычно принимается менее точная выборка, следуя правилу двух сигм.