III. Высказывания (суждения)

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Высказывание - языковое выражение, о котором можно сказать только одно из двух: истинно оно или ложно.

Высказывания (как и соответствующие им схемы построения) делятся на простые и сложные. Сложное высказывание можно разбить на простые. Простое высказывание на более простые не расчленяется.

Алфавит логики высказываний включает символы:

1. p, q, r, s, … – символы, которые обозначают переменные для простых высказываний; A, B, C, D, … - символы, которые обозначают переменные для любых высказываний;

2.Ù, Ú, Ú, ®, «, Ø - символы для обозначения логических союзов;

3.(,) – скобки как указатели совершения логических действий.

Схема высказывания принимает логическое значение – «истинно» или «ложно».

Логическое значение сложной схемы высказывания в современной логике ставится в зависимость (является функцией) от логических значений простых схем.

Рассмотрим важнейшие схемы логики высказываний.

2. ВИДЫ СЛОЖНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Сложные высказывания образуются с помощью особых функторов. Важнейшие из них – отрицание, конъюнкция, дизъюнкция (слабая и сильная), импликация, эквиваленция. Cложное высказывание принято называть именем функтора (логического союза), с помощью которого оно образовано.

Отрицанием высказывания А называется высказывание, обозначаемое выражением Ø А (читается: «не- А», «неверно, что А»), которое истинно тогда и только тогда, когда А ложно. Данное определение можно выразить с помощью следующей таблицы (таблицы истинности), где «и» обозначает «истинно», а «л» ‑ «ложно»:

А	Ø А
и	л
л	и

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое выражением А Ù В (читается: А и В), которое истинно тогда и только тогда, когда А и В одновременно истинны. В разговорном языке конъюнкция может быть выражена грамматическими союзами «а», «но», «да», «хотя», «однако» и др. (Государственные пенсии и социальные пособия устанавливаются законом).

Дизъюнкцией слабой высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое выражением А Ú В (читается: «А или В»; здесь «или» употребляется в неисключающем смысле), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из выражений А и В истинно (Каждый учащийся нашей группы способный или трудолюбивый).

Дизъюнкцией сильной высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое выражением А Ú В (читается: «либо А, либо В»), которое истинно тогда и только тогда, когда лишь одно из выражений А и В истинно (Истец вправе либо увеличивать, либо уменьшать размер исковых требований).

Импликацией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое выражением A ® В (читается: «если А, то В», «из А следует В», «неверно, что А и не-В» и пр.), которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно (см. 6-й столбец таблицы). При этом А называется антецедентом ( основанием ), а В - консеквентом (следствием) импликации (Если прокурор является родственником потерпевшего, то он подлежит отводу).

Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое выражением А «В (читается: «А эквивалентно В», «А тогда и только тогда, когда В», «А, если и только если В» и пр.), которое истинно тогда и только тогда, когда логические значения А и В совпадают (Страховка выплачивается лишь в том случае, если доказано наличие неумышленного ущерба).

А	В	А Ù В	А Ú В	А Ú В	А ® В	А « В
И	И	И	И	Л	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

3. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ И ИХ ЛОГИЧЕСКИМИ ФОРМАМИ

Логические формы простых и сложных высказываний (как и сами высказывания) могут находится в определенных отношениях. Сравнимые логические формы содержат хотя бы одну общую переменную (p, q и т.д. в структуре сложных высказываний), либо одинаковые S и P в структуре простых высказываний.

Несравнимые логические формы не содержат хотя бы одну общую переменную (p, q и т.д. в структуре сложных высказываний), либо состоят из разных S и P в структуре простых высказываний.

Совместимые высказывания и их логические формы содержат хотя бы один случай одновременной истинности (т.е. истинность первой не исключает истинности второй).

 

3.1. ВИДЫ СОВМЕСТИМОСТИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Полная совместимость (равнозначность)– отношения между высказываниями, логические значения которых при одинаковых значениях составляющих полностью совпадают.

Частичная совместимость (субконтрарность) – отношения между высказываниями, которые могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными.

Следование (подчинение) – отношения между высказываниями, при которых одна логическая форма высказывания является истинной, другая логическая форма также принимает истинное значение (И Þ И).

Несовместимые высказывания и их логические формы не содержат ни одного случая одновременной истинности (т.е. не могут быть одновременно истинными).

 

3.2. ВИДЫ НЕСОВМЕСТИМОСТИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Противоречие (контрадикторность) – отношение между высказываниями и их логическими формами, которые не могут быть вместе истинными, как и не могут быть вместе ложными.

Противность (контрарность) – отношения между высказываниями, которые не могут быть вместе истинными, но могут быть одновременно ложными.

4. АНАЛИЗ ПРАВИЛЬНОСТИ РАССУЖДЕНИЙ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Законы логики высказываний. Специфика законов логики высказываний в том, что в качестве значений переменных, входящих в структуру логических форм, выступают отдельные простые высказывания как целостные образования. И какие бы высказывания ни подставлялись вместо переменных в логический закон, результат будет одним и тем же ‑ полученное сложное высказывание будет истинным.

Правильные схемы рассуждений (= логический закон) - логические схемы, которые при любых подстановках преобразуются только в истинные выражения.

Выполнимые схемы рассуждений - логические схемы, которые при одних подстановках конкретных высказываний преобразуются в истинные, а при других в ложные выражения.

Противоречивые ( невыполнимая ) схемы рассуждений -логические схемы, которые при любых подстановках преобразуются исключительно в ложные выражения.

Наиболее простыми законами логики высказываний являются законы, которые можно выразить с помощью одной переменной – закон исключенного третьего, закон противоречия, закон тождества, закон удаления двойного отрицания, введения двойного отрицания и др.

Закон исключенного третьего – схема A ÚØ A – два отрицающих друг друга высказывания не являются вместе ложными, выполняется одна из возможностей: если ложно одно из этих высказываний, то истинно его отрицание, а что-либо третье исключено.

Закон противоречия - схема Ø(A Ù Ø A) - два отрицающих друг друга высказывания не являются вместе истинными, одно их них ложно.

Закон тождества – схема A «A – всякое высказывание является эквивалентным (тождественным) самому себе, следовательно, в правильном рассуждении оно согласуется с самим собой.

 

IV. СИЛЛОГИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ

Cиллогистика – это теория дедуктивного вывода, построенного на основе высказываний вида SaP, SeP, SiP, SoP.

Логическая теория имен находит применение в разделе логики, который называется силлогистикой (от греч. sillogi s tikos – выводящий умозаключение).

В силлогистике рассматриваются выводы на основе атрибутивных высказываний. Атрибутивным(от лат. atributum – присовокупление) называется высказывание, в котором выражается принадлежность или непринадлежность свойства некоторым предметам.

 

Структура атрибутивного высказывания:

Субъект (обозначается буквой S) – это часть высказывания, которой обозначается предмет мысли.

Предикат (обозначается буквой P) фиксирует свойство предмета мысли.

Связкаустанавливает, в каком отношении находятся между собой предмет и свойство.

Субъект и предикат называются терминами атрибутивного высказывания.

Всякое атрибутивное высказывание имеет качественно-количественные характеристики. Различение атрибутивных высказываний по качеству производится в зависимости от характера связки, указывающей на наличие или отсутствие связи свойства с предметом мысли и выражающейся словами «есть», «суть», «является», «не является» и др. (в письменной речи эти слова иногда опускаются и заменяются тире). В соответствии с этим атрибутивные высказывания делятся на утвердительные и отрицательные.

В атрибутивном высказывании что-то утверждается или отрицается либо об одном предмете, либо о части предметов, либо о всех предметах определенного класса. В зависимости от этого атрибутивные высказывания делятся по количеству – на единичные, частные и общие.

Высказывания, в которых идет речь о принадлежности или непринадлежности свойства единичному предмету, называютсяединичными.

Высказывания, в которых говорится о принадлежности или непринадлежности свойства некоторым предметам рассматриваемого класса, называются частными.

Высказывания, в которых выражается принадлежность (непринадлежность) свойства всем предметам рассматриваемого класса, называются общими.

Объединенная классификация атрибутивных высказываний по качеству и количеству.

Высказывания, являющиеся одновременно общими и утвердительными, называются общеутвердительными. S a P

Высказывания, являющиеся одновременно частными и утвердительными, называются частноутвердительными. S i P

Высказывания, являющиеся одновременно общими и отрицательными, называются общеотрицательными. S e P

Высказывания, являющиеся одновременно частными и отрицательными, называются частноотрицательными. S o P

 

Распределенность терминов в атрибутивном высказывании

Термин распределен, если и только если его объём полностью включается в объём другого термина или полностью исключается из него. В противном случае термин нераспределен. Для распределенного термина характерно кванторное слово «все», а для нераспределенного – «некоторые» (см. таблицу ниже).

	S	P
S a P	+	-
S e P	+	+
S i P	-	-
S o P	-	+

 

Таким образом, распределенными являются субъекты общих и предикаты отрицательных высказываний, а нераспределенными – субъекты частных и предикаты утвердительных высказываний (за некоторыми исключениями).

 

1. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СХЕМАМИ АТРИБУТИВНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Между схемами S a P, S e P, S i P, S o P с одними и теми же терминами (и, следовательно, между самими высказываниями, соответствующими этим схемам), возможны следующие отношения: отношение противоречия (контрадикторности); отношение противности (контрарности); отношение частичной совместимости (подпротивности, подконтрарности); отношение подчинения (следования).

Эти отношения принято изображать в виде особой диаграммы, которая называется логическим квадратом. Его стороны и диагонали указывают на соответствующие отношения (см. рис 15).

 

Две схемы находятся в отношении противоречия, если и только если соответствующие им высказывания не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными. Это отношение имеет место между схемами общеутвердительных (S a P) и частноотрицательных (S o P) высказываний, а также между схемами общеотрицательных (S e P) и частноутвердительных (S i P) высказываний.

Две схемы находятся в отношениипротивности, если и только если соответствующие им высказывания не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными.

Две схемы находятся в отношенииподпротивности (частичной совместимости), если и только если им соответствуют высказывания, которые могут быть вместе истинными, но не могут быть одновременно ложными. В отношении подпротивности находятся схемы частноутвердительных (S i P) и частноотрицательных (S o P) высказываний.

Две схемы находятся в отношенииподчинения (первая подчиняет вторую, или из первой следует вторая), если и только если всякий раз, когда первой соответствует истинное высказывание, второй также соответствует истинное высказывание, но не обязательно наоборот. В отношении подчинения находятся схемы общеутвердительных (S a P) и частноутвердительных (S i P) высказываний, с одной стороны (из схемы «Все S суть P» следует схема «Некоторые S суть P») и схемы общеотрицательных (S е P) и частноотрицательных (S o P) высказываний, с другой стороны (из схемы «Ни одно S не есть P» следует схема «Некоторые S не суть P»).

Если же высказывание подчиненной схемы ложно, то ложным является и высказывание схемы подчиняющей.

2. ВЫВОДЫ (РАССУЖДЕНИЯ) В СИЛЛОГИСТИКЕ

Вывод, в котором заключение получается из одной посылки, называется непосредственным. К непосредственным выводам относятся: вывод по логическому квадрату, обверсия, конверсия, контрапозиция.

Выводы по логическому квадрату. Руководствуясь отношениями, фиксируемыми диаграммой, которая называется логическим квадратом, и определением отрицания в логике высказываний, можно сформулировать следующие правила вывода:

а) в соответствии с отношением противоречия –

б) в соответствии с отношением противности –

в) в соответствии с отношением частичной совместимости –

г) в соответствии с отношением подчинения (следования) –

 

Обверсия (лат. ‑ превращение) ‑ непосредственный вывод, в процессе которого предикат посылки заменяется на противоречащее ему имя и изменяется ее качество, т.е. утвердительная посылка заменяется на отрицательную и наоборот. При этом могут быть использованы следующие схемы:

СХЕМЫ ОБВЕРСИИ

Все S являются P Ни один S не является не-P	Ни один S не является P Все S являются не-P
Некоторые S являются P Некоторые S не являются не-P	Некоторые S не являются P Некоторые S являются не-P

Конверсия (лат. ‑ обращение) ‑ непосредственный вывод, в заключении которого субъектом является предикат, а предикатом ‑ субъект исходного высказывания-посылки. Это означает, что при конверсии происходит преобразование атрибутивных высказываний путем перестановки S и P местами. Качество посылки при этом остается неизменным.

СХЕМЫ КОНВЕРСИИ

Все S являются P Некоторые P являются S	Ни одно S не является P Ни одно P не является S
Некоторые S являются P Некоторые P являются S	Некоторые S не являются P ? (исключение)

Конверсия применяется к высказываниям вида S a P, S e P и S i P. К высказыванием вида S o P в разговорных процессах конверсия не применяется, поскольку получающаяся конструкция имеет явно искусственный характер и может вести от истинной посылки к ложному заключению.

Частичная контрапозиция ‑ вывод, при котором в заключении субъект выражается именем, противоречащим предикату посылки, а на место предиката становится ее субъект; при этом посылка изменяет свое качество. Частичную контрапозицию можно осуществить путем последовательного применения превращения и обращения. Высказывание вида SiP посредством контрапозиции не преобразуется

СХЕМЫ ЧАСТИЧНОЙ КОНТРАПОЗИЦИИ

Все S являются P Ни один не-P не является S	Ни один S не является P Некоторые не-P являются S
Некоторые S являются P ? (исключение)	Некоторые S не являются P Некоторые не-P являются S

3. ОПОСРЕДОВАННЫЙ ВЫВОД

Опосредованный вывод ‑ вывод, в котором заключение получено из двух либо более посылок. Важнейшей формой опосредованного вывода является простой категорический силлогизм (греч. sillogismo ‑ сосчитывание) ‑ это вывод, в котором из двух высказываний формы SaP, SeP, SiP или SoP, связанных общим термином, делается заключение также одной из этих форм.

В структуре простого категорического силлогизма (ПКС) выделяется три термина: меньший, средний и больший. Субъект заключения называют меньшим термином, предикат заключения ‑ большим термином. Меньший и больший термины называются крайними терминами они обозначаются соответственно буквами S и P.

Общий термин, присутствующий в обеих посылках, но отсутствующий в заключении, называется средним. Его принято обозначать буквой M (лат. medio ‑ средний). Он выступает связующим звеном между крайними терминами.

Посылка, в которой находится меньший термин, называется меньшей посылкой. Посылка, в которой находится больший термин, называется большей.

 

4. АНАЛИЗ ПРАВИЛЬНОСТИ РАССУЖДЕНИЙ В СИЛЛОГИСТИКЕ

Обобщение самых разнообразных отношений между терминами в традиционной логике дало возможность сформулировать общие правила простого категорического силлогизма. Всего их семь.

1. В простом категорическом силлогизме должно быть только три термина. Наиболее распространенная ошибка, связанная с нарушением этого правила, носит наименование «учетверение терминов».

2. Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок. При его нераспределенности отношение между терминами в посылках не обусловливает определенного, одного единственного, отношения между S и P в заключении.

3. Термин (крайний), не распределенный в посылках, не может быть распределен в заключении. Это правило фиксирует тот очевидный факт, что неправомерно в заключении говорить о всех предметах некоторого класса, если в посылках речь идет об их части. Связанная с нарушением этого правила ошибка называется «незаконное расширение крайнего термина».

4. Из двух частных посылок не делается заключения.

5. Если одна из посылок частная, то и заключение должно быть частным.

6. Из двух отрицательных посылок не делается заключения.

7. Если одна из посылок отрицательная, то и заключение должно быть отрицательным.

5. ФИГУРЫ ПКС

Проверка правильности рассуждений может быть упрощена с помощью фигур простого категорического силлогизма. По месту расположения среднего термина различают четыре фигуры.

В первой фигуре средний термин является субъектом в большей посылке и предикатом в меньшей. Во второй фигуре средний термин является предикатом в обеих посылках. В третьей фигуре средний термин является субъектом в обеих посылках. В четвертой фигуре средний термин является предикатом в большей посылке и субъектом в меньшей.

 

S М Р М М 1 фигура	S Р М М 2 фигура
S Р М М 3 фигура	S Р М М 4 фигура

Каждая фигура имеет свои правила, соблюдение которых является необходимым (но не достаточным) условием для получения истинного заключения из истинных посылок.

Правила первой фигуры:

1. Большая посылка должна быть общей.

2. Меньшая посылка должна быть утвердительной.

Правила второй фигуры:

1. Большая посылка должна быть общей.

2. Одна (и только одна) из посылок должна быть отрицательной.

Правила третьей фигуры:

1. Меньшая посылка должна быть утвердительной.

2. Заключение должно быть частным.

Эти правила являются следствиями общих правил силлогизма.

Разновидности фигур, отличающиеся качественной и количественной характеристиками входящих в них посылок и заключения, называются модусами ПКС. Всего с точки зрения всевозможных сочетаний посылок и заключений в каждой фигуре насчитывается 64 модуса, а в четырех фигурах ‑ 256. Из них правилам силлогизма соответствуют лишь 24 модуса.

6. ЭНТИМЕМА

Для интеллектуально-речевой деятельности является типичным использование выражений с пропущенными, но подразумеваемыми частями. К таким выражениям относятся энтимемы (греч. en time ‑ в уме) ‑ сокращенные силлогизмы, в которых опускается одна из посылок либо заключение.

Методика восстановления и оценки энтимемы на ее состоятельность состоит из следующих шагов:

1. Энтимема записывается в стандартном виде: имеющиеся посылки помещаются над чертой, заключение ‑ под ней;

2. в соответствии с определениями посылок и заключения устанавливается, какая из частей вывода является подразумеваемой;

3. с использованием определений и правил, характерных для данного класса выводов, восстанавливается недостающая часть вывода;

4. производится анализ восстановленной посылки на соответствие действительному положению дел, её ложность означает наличие содержательной ошибки в энтимеме;

5. производится анализ связей между посылками и заключением на соответствие логическим правилам, нарушение хотя бы одного из правил свидетельствует о наличии формальной ошибки в энтимеме.

V. НЕДЕДУКТИВНЫЕ ВЫВОДЫ

 

Важнейшее свойство недедуктивных умозаключений – отсутствие логического следования заключений из посылок. Между посылками и заключением этих умозаключений иная логическая связь: частичная совместимость, отношение подтверждения. Если при отношении следования истинность посылок гарантирует истинность заключения, то при отношении подтверждения (частичной совместимости) истинность посылок не исключает истинность заключения, но оно имеет не достоверный, а вероятный характер.

Недедуктивные умозаключения делятся на две большие группы: индуктивные умозаключения и умозаключения по аналогии. Рассмотрим их по отдельности.

ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Индуктивным называется умозаключение, в котором совершается переход от знания об отдельных предметах класса или о некоторых его частях к знанию обо всем классе в целом. Этот переход осуществляется путем экстраполяции содержащегося в посылках знания на более широкую область, и поэтому в заключении появляется информация, которой не было в посылках, и оно имеет не достоверный, а вероятный характер.

Различают два вида индуктивных умозаключений – полную и неполную индукции.

Умозаключением по полной индукции называется такое индуктивное умозаключение, в посылках которого перечислены все предметы класса, о которых делается обобщающее заключение. Например: «Вокруг остроугольного треугольника можно описать окружность, вокруг прямоугольного треугольника можно описать окружность и вокруг тупоугольного

треугольника можно описать окружность. Никаких других треугольников не бывает. Значит вокруг любого треугольника можно описать окружность».

Смысл умозаключения по полной индукции состоит в том, что свойство, которое может быть обнаружено лишь у отдельных предметов или у отдельных разновидностей предметов данного класса, приписывается в заключении всему классу, выступая как его видовое свойство. Тем самым формируется более полное, более точное знание об этих объектах.

Полная индукция, как и дедукция, дает новое осмысление содержащегося в посылках знания без добавления информации. Поэтому ее выводы достоверны. К этому виду индукции относится и математическая индукция, используемая в математике.

Умозаключение по неполной индукции представляет собой индуктивное умозаключение, в посылках которого дается знание о некоторых предметах класса, а в заключении это знание обобщается на весь класс. Например: «Грипп, корь, брюшной тиф, туберкулез имеют инкубационный период. Все эти заболевания – инфекционные. Значит все инфекционные заболевания имеют инкубационный период». Умозаключения по неполной индукции отличаются от умозаключений по полной тем, что в посылках перечислено знание не обо всех элементах рассматриваемого множества объектов (n), а лишь о некоторых (m), что и фиксируется отдельной посылкой (причем n>m). Заключение этого вида умозаключения не следует логически из посылок, а только подтверждается ими в большей или меньшей степени. Большая или меньшая степень вероятности заключения отражает эту степень подтверждения. Поэтому в индуктивной логике разрабатываются специальные методы оценки вероятности заключений индукции.

 

 

Схемы умозаключений: