Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-09-10 | 185 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Модуль вектора. Направляющие косинусы. [3, §5]. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Некоторые приложения скалярного произведения. [3, §6]. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения векторного произведения. [3, §7]. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через координаты. Некоторые приложения смешанного произведения. [3, §8]. Собственные векторы и собственные значения матриц. [4, гл. V, §4].
Пример 3. Дано: , , векторы и составляют стороны параллелограмма . Найти: 1) длины диагоналей параллелограмма ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма ; 3) площадь параллелограмма .
Решение: Сделаем схематический чертеж:
1. Найдем длины диагоналей параллелограмма как длины векторов и .
Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, то есть и . Имеем
.
2. Острый угол между диагоналями параллелограмма найдем по формуле .
Находим скалярное произведение векторов и :
Значит, и .
3. Площадь параллелограмма найдем по формуле .
По свойствам векторного произведения имеем
Значит,
Пример 4. Даны точки ; ; ; . Требуется: 1) записать векторы , , в ортонормированном базисе; 2) найти длины векторов , , ; 3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства; 4) найти острый угол между векторами и ; 5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ; 6) найти площадь треугольника ; 7) найти объем пирамиды .
|
Решение: 1. Если , , то вектор .
В данном случае имеем .
Значит, , , .
2. Длина вектора может быть найдена по формуле .
Имеем ; ;
.
3. Покажем, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства. Для этого найдем определитель, составленный из координат этих векторов:
Так как , то векторы , , образуют базис трехмерного пространства.
4. Острый угол между векторами и найдем по формуле .
Скалярное произведение векторов и найдем, используя формулу: , где , . В данном случае .
Тогда и .
5. Алгебраическую проекцию вектора на вектор найдем по формуле .
Так как , то .
6. Площадь треугольника найдем по формуле .
Векторное произведение векторов и можно найти по формуле .
В данном случае
Тогда , . Значит, .
7. Объем пирамиды найдем по формуле .
Смешанное произведение векторов , и можно найти по формуле .
Тогда . Значит, .
Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Решение: Собственные значения матрицы находятся из уравнения , где – единичная матрица того же порядка, что и матрица .
В данном случае ,
.
Решением уравнения являются числа , . Это и есть собственные значения матрицы .
Собственный вектор , соответствующий собственному значению , определяется из системы уравнений .
Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению : или . Пусть , тогда .
Значит, – собственный вектор, соответствующий собственному значению .
Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению : или . Пусть , тогда .
Значит, – собственный вектор, соответствующий собственному значению .
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!