Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-09-10 | 455 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Конспект лекций 5
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Гармонические колебания и их характеристики
Гармонические колебания – это колебания, происходящие по закону cos или sin.
Графически гармонические колебания изображаются методом векторных диаграмм.
отсюда
В общем виде уравнение гармонического колебания записывают в виде:
х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия, [м];
А – амплитуда колебания (max смещения), [м];
ω0 – круговая (циклическая) частота, [рад/с];
t – текущее время, [с];
φ0 – начальная фаза колебания (она определяет смещение, скорость и ускорения точки в момент времени t = 0), [рад];
φ = фаза колебания (определяет смещение, скорость и ускорение точки в момент времени t), [рад].
Положение колеблющейся системы повторяется через промежуток времени Т (период колебаний). При этом фаза получает приращение 2π.
t – время;
N – число полных колебаний;
ν – частота.
Скорость и ускорение при колебательном движении
Пусть
- скорость, [м/с];
или – ускорение, [м/с2].
Амплитуды колебаний скорости и ускорения соответственно равны Аw 0 и Аw . Фаза колебаний скорости отличается от фазы колебаний величины отклонения на p/ 2, а фаза колебаний ускорения --на p. Следовательно, в моменты времени, когда х= 0, d х/ d t приобретает наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значения, то d2 х/ d t 2 приобретает наибольшее положительное значение:
Уравнение гармонического колебания в дифференциальной форме
-
Отсюда дифференциальное уравнение гармонического колебания:
|
или .
Уравнение является решением дифференциального уравнения.
Гармоническим колебанием называется колебание, у которого ускорение прямопропорционально смещению.
Динамика колебаний
1. Сила, действующая на колеблющуюся точку
, тогда
или
- II закон Ньютона
(при )
(при )
2. Кинетическая энергия
3. Полная или суммарная энергия
4. Потенциальная энергия
;
Сложение колебаний
1. Сложение одинаково направленных колебаний с одинаковой частотой методом векторных диаграмм.
-начальная фаза первого колебания.
-начальная фаза второго колебания.
Амплитуда результирующего колебания:
Начальную фазу результирующего колебания найдем из соотношения:
Откуда
Биения.
Биения возникают при складывании гармонических колебаний одинакового направления с мало отличающимися частотами. В результате сложения получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.
- период колебаний;
- период биений.
Δω<<ω0
;
;
(Δω<<ω0 → пренебрегаем)
- амплитуда результирующего колебания.
3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
Фигура Лиссажу – это замкнутая траектория точки, которая совершает одновременно два колебания во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Затухающие колебания
Это колебания, амплитуда которых со временем уменьшается
Дифференциальное уравнение затухающего колебания
.
Решением дифференциального уравнения является уравнение вида:
В общем случае уравнение затухающих колебанийможно записать в виде:
=
Амплитуда затухающих колебаний уменьшается со временем по экспоненциальной зависимости:
где A0 - начальная амплитуда (характеризует максимальное отклонение параметра х в момент времени t=0 )
– коэффициент затухания (характеризует скорость затухания
колебаний).
где r - коэффициент сопротивления; m - масса
T |
хo |
t |
хo |
t |
х |
|
.
Логарифмический декремент затухания λ, который определяется как натуральный логарифм отношения амплитуды колебаний A(t) в момент времени t к амплитуде A(t+T) в момент времени (t+T), то есть через время, равное периоду колебаний.
Логарифмический декремент затухания λ связан с коэффициентом затухания β и характеризует скорость затухания амплитуды колебаний
Вообще основными характеристиками затухающих колебаний являются:
- амплитуда колебаний(в момент времени t=0 она имеет максимальное значение А0).
- коэффициент затухания
(r - коэффициент сопротивления; m - масса)
- циклическая частота затухающих колебаний.
- период колебаний.
- логарифмический декремент затухания.
- время релаксации (характеризует время, за которое амплитуда уменьшается в е раз).
Νе - число полных колебаний за время релаксации.
- добротность контура (характеризует число колебаний за время релаксации).
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания – это колебания, возникающие под воздействием внешней периодически меняющейся силы.
F = F0 · cos ωt
-дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний
Решением дифференциального уравнения является уравнение:
- амплитуда вынужденных колебаний
- начальная фаза
установление колебаний с частотой
При приближении частоты вынуждающей силы () к собственной частоте колебательной системы (), наступает резкое увеличение амплитуды t - явление РЕЗОНАНСА.
(на рис. коэффициент затухания β обозначен как δ)
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Волна – это процесс распространения колебаний в сплошной среде.
При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице передается лишь состояние колебательного движения и его энергия.
Основное свойство волн – перенос энергии без переноса вещества.
ВОЛНЫ |
Упругие (механические) |
Электромагнитные |
Продольные |
Поперечные |
|
Продольные волны – частицы среды колеблются в направлении распространения волны.
Могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях сжатия и растяжения, т. е. в твердых, жидких и газообразных телах.
Поперечные волны – частицы среды колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.
Распространяются в среде, где возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. только в твердых телах.
Гармоническая упругая волна – если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.
Закон колебаний точки S.
Длина волны - расстояние, на которое распространяется фаза колебаний за время равное периоду:
; ;
Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.
Фронт волны – геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t.
Волновой фронт также является волновой поверхностью.
У плоской волны волновая поверхность – это совокупность плоскостей, параллельных друг другу.
У сферической волны – волновая поверхность - это совокупность сфер.
Волновое уравнение
1. Бегущая волна – это волна, которая переносит в пространстве энергию.
Перенос энергии количественно характеризуется вектором Умова (вектор плотности потока энергии). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.
Уравнение бегущей волны, которая распространяется в прямом направлении:
Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то
В общем случае:
Где А – амплитуда волны;
- циклическая частота волны;
- фаза волны
Для волн в качестве основной характеристики используется волновое число:
Тогда уравнение бегущей волны.
Фазовая скорость.
Пусть , тогда
- фазовая скорость.
– волновое число
3. Волновое уравнение – это дифференциальное уравнение волны:
V – фазовая скорость.
|
Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси Х:
Стоячие волны
Стоячая волна является особым случаем интерференции двух бегущих волн с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющимися навстречу друг другу.
На рис. показан график стоячей волны, которая является результатом сложения бегущей (сплошная линия) и отраженной (пунктирная линия) волн. Уравнения этих волн:
Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны:
Амплитуда стоячей волны зависит от положения точки среды относительно источника колебаний, т.е. от координаты х.
Пучность – это точка, в которой амплитуда стоячей волны максимальна: Аст = 2А.
Узел – это точка, в которой амплитуда стоячей волны равна нулю: Аст = 0 (рис.)
Падающая волна
Пучность
Отраженная
волна
λ
у
х
λст
Узел
Более плотная среда
Координаты узлов и пучностей стоячей волны:
где λст – длина стоячей волны (расстояние между соседними пучностями или узлами).
Длина бегущей и стоячей волн связаны соотношением:
λ = 2 λст
Основные свойства стоячих волн:
1. В отличие от бегущей стоячая волна не переносит энергию, т.к. падающая и отраженная волны несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Полная энергия стоячей волны между узлами остается величиной постоянной.
2. Точки стоячей волны, лежащие между соседними узлами, совершают колебания с различными амплитудами, но в одинаковой фазе. При переходе через узел фаза колебаний меняется на π, т.е. точки по разные стороны узла колеблются в противофазах.
3. Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, то в месте отражения получается узел. Образование узла связано с тем, что при отражении от более плотной среды волна меняет фазу на противоположную, и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений.
Если отражение волны происходит от менее плотной среды, то образуется пучность ( изменение фазы не происходит, и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами).
Электромагнитные волны.
Электромагнитные волны - это распространение в пространстве индуктивно связанных между собой переменных электрического и магнитного полей.
Из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа
(1)
Фазовая скорость: (2)
в вакууме ε=1 μ=1
Т. к. <1, то в любой среде V < C.
Основные свойства электромагнитных волн:
1. Электромагнитные волны поперечны (V E; V H).
2. и колеблются всегда в одинаковых фазах.
3. Мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением:
(3)
т. е. Е и Н одновременно достигают max и одновременно обращаются в нуль.
|
Волновым уравнениям (1) соответствуют уравнения плоской монохроматической волны:
где - волновое число.
Конспект лекций 5
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Гармонические колебания и их характеристики
Гармонические колебания – это колебания, происходящие по закону cos или sin.
Графически гармонические колебания изображаются методом векторных диаграмм.
отсюда
В общем виде уравнение гармонического колебания записывают в виде:
х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия, [м];
А – амплитуда колебания (max смещения), [м];
ω0 – круговая (циклическая) частота, [рад/с];
t – текущее время, [с];
φ0 – начальная фаза колебания (она определяет смещение, скорость и ускорения точки в момент времени t = 0), [рад];
φ = фаза колебания (определяет смещение, скорость и ускорение точки в момент времени t), [рад].
Положение колеблющейся системы повторяется через промежуток времени Т (период колебаний). При этом фаза получает приращение 2π.
t – время;
N – число полных колебаний;
ν – частота.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!