Изучение электрических процессов в простых линейных цепях при действии гармонической электродвижущей силы (ФПЭ-09)

 

Цель работы: изучение электрических процессов в цепях, состоящих из последовательно соединенных элементов: а) двух резисторов (цепь RR), б) резистора и конденсатора (цепь RC), в) резистора и катушки индуктивности (цепь RL):

а) измерение коэффициента передачи цепей RR, RC, RL; изучение зависимости коэффициента передачи цепей RC и RL от частоты входного сигнала;

б) оценка параметров цепей R, C, L;

в) определение разности фаз между колебаниями тока в изучаемых цепях и входным напряжением.

 

Теоретическое введение

Цепь переменного электрического тока представляет собой ряд соединенных между собой в той или иной последовательности элемен­тов, в которых возбуждаются токи одним или несколькими источниками ЭДС.

Все элементы электрической цепи обладают сопротивлением. Это сопротивление может быть двух видов: активное или реактивное. Если при прохождении тока через элемент происходит только необратимое превращение электрической энергии в теплоту, то его сопротивление называют активным. Если же подобной потери электрической энергии не происходит, сопротивление элемента называют реактивным.

Элемент цепи с активным сопротивлением называется резистором. Реактивным сопротивлением – емкостным и индуктивным – обладают соответственно конденсаторы и катушки индуктивности.

Элементы цепи называются идеальными, если они обладают только одним видом сопротивления – активным, емкостным или индуктивным. Для идеальных элементов справедливы соотношения:

; (19.1)

; (19.2)

; , (19.3)

где – сопротивление резистора; – емкость конденсатора; – индуктивность катушки; , , – падения напряжения (или просто напряжения) на соответствующих элементах; – ток через элемент; – заряд конденсатора; – ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке индуктивности при прохождении через нее переменного тока.

Элементы цепи могут быть линейными и нелинейными. Если сопротивление элемента не зависит от величины тока в цепи или от напряжения на элементе, то такой элемент называется линейным. Электрические цепи, составленные из линейных элементов, также называются линейными. В линейных цепях электрические процессы описываются линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями. Этому условию, например, отвечают выражения (19.1) – (19.3). Электрические процессы в линейных цепях называются установившимися (стационарными), если закон изменения всех токов и напряжений совпадает с точностью до постоянной величины с законом изменения внешней ЭДС, действующей в цепи. Если это условие не выполняется, процессы называются переходными.

При анализе электрических процессов в цепях переменного тока к мгновенным значениям тока можно применять законы Ома и Кирхгофа и другие правила, установленные для постоянного тока, если переменный ток является квазистационарным. Условие квазистационарности означает, что мгновенные значения переменного тока практически одинаковы на всех участках цепи. Это условие выполняется для медленно меняющегося тока, когда его мгновенное значение не успевает измениться за время распространения электрического процесса вдоль цепи. Если – характерное время изменения мгновенного значения тока, а – время распространения электрического процесса вдоль цепи протяженностью со скоростью (равной по порядку величины скорости распространения электромагнитного возмущения м/с), то условие квазистационарности запишется в виде: .

В дальнейшей будем полагать, что элементы цепи являются идеальными и, в соответствии с соотношениями (19.1) – (19.3), линейным. Электрические процессы будем считать установившимися, а переменные токи – квазистационарными.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора R, емкости C и индуктивности L (рис.19.1).

Допустим, что источник переменной ЭДС (генератор) не обладает внутренним сопротивлением и создает на входе цепи напряжение U равное его ЭДС . Такое допущение всегда можно сделать, включив сопротивление генератора в состав рассматриваемой электрической цепи.

Положим далее, что ток в цепи

(19. 4)

создается в стационарном состоянии генератором с гармонической ЭДС

, (19. 5)

где – круговая частота колебаний ЭДС и тока; – период колебаний; – угол сдвига фазы напряжения (ЭДС) относительно фазы тока; – амплитуда ЭДС; – амплитуда тока.

 

 

Найдем, чему равны амплитуда тока и сдвиг фаз , если известны параметры цепи , , , и уравнение для ЭДС (19.5).

Одновременно определим, какой вид имеет величина , равная отношению амплитуды ЭДС к амплитуде тока: .

Эта величина (по аналогии с законом Ома для замкнутой цепи постоянного тока) называется полным сопротивлением цепи переменного тока. На основании второго правила Кирхгофа для контура на рис.19.1,а можем записать или (рис. 19.1,б):

, (19.6)

то есть сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени внешней ЭДС, действующей в контуре.

Учитывая соотношения (19.1) – (19.3), имеем

, (19.7)

или, с учетом (19.5) и того, что :

. (19.7а)

Выражение (19.7а) представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Подстановка в уравнение (19.7) выражений (19.4), (19.5) и выполнение операций интегрирования и дифференцирования приводит это уравнение к виду:

Используя далее соотношения

, ,

окончательно получим:

(19.8)

Из уравнения (19.8) можно сделать ряд выводов.

Выпишем из этого уравнения выражения для напряжений , , и рассмотрим их совместно с выражением (19.4) для тока :

, где , (19.9а)

, где (19.9б)

, где . (19.9в)

Сравнивая фазы напряжений , и с фазой тока , видим, что:

1) напряжение на резисторе совпадает по фазе с током ;

2) напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол ;

3) напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на угол .

Далее найдем отношения амплитуд напряжений , , к амплитуде тока :

; ; . (19.10)

Формулы (19.10) определяют величины, которые называются соответственно активным, реактивным емкостным и реактивным индуктивным сопротивлениями. Емкостное сопротивление обозначается через , индуктивное – через . Из формул (19.10) следует, что активное сопротивление цепи переменного тока равно сопротивлению цепи для постоянного тока, то есть омическому сопротивлению , реактивные же сопротивления:

; (19.11)

Перейдем к основной задаче: нахождению выражений, определяющих амплитуду тока , сдвиг по фазе напряжения (ЭДС) и тока и полное сопротивление цепи, изображенной на рис. 19.1.

Уравнение (19.8) позволяет решить эту задачу, при этом методы решения могут быть различные. Воспользуемся графическим способом представления гармонических колебаний – методом векторных диаграмм. В этом методе гармоническим величинам (напряжениям, токам) сопоставляются вращающиеся векторы. Для этого на плоскости выбирают произвольное начало координат 0 и проводят ось X. Изучаемую гармоническую величину изображают вектором, построенным из начала координат. Длина вектора равна (в выбранном масштабе) амплитуде гармонической величины, а угол между вектором и осью X равен углу начальной фазы. Вектор равномерно вращается вокруг точки 0 с угловой скоростью в направлении против часовой стрелки. При этом проекция вектора на ось Х в любой момент времени равна мгновенному значению гармонической величины, изменяющейся со временем по закону косинуса.

В соответствии со сказанным левую часть уравнения (19.8) можно рассматривать как сумму проекций векторов, изображающих напряжения , и , а правую часть – как проекцию вектора, изображаю­щего суммарное напряжение . Поскольку при сложении векторов сумма проекций слагаемых равна проекции суммы, то можно найти геометрическую сумму векторов, изображающих напряжения , , и приравнять эту геометрическую сумму вектору, изо­бражающему напряжение . Другими словами, вместо алгебраическо­го равенства (19.8) можно рассматривать векторное равенство

, (19.12)

причем модули векторов , , определяются равенствами (19.9). Такое представление значительно упрощает нахождение амплитуды и сдвига фаз . На рис. 19.2 построены векторные диаграммы для момента време­ни t =0, соответствующие уравнениям (19.8) и (19.12).

 

Из рис. 19.2 следуют соотношения:

и .

Поскольку вектора и направлены противоположно, и , тогда, с учетом (19.12):

, (19.13)

, (19.14)

откуда

, (19.15)

, (19.16)

. (19.17)

Видим, что колебания тока в цепи отстают по фазе от колебаний ЭДС на угол , зависящий от частоты и определяемый уравнением (19.16). Можно также сказать, что напряжение во внешней цепи, содержащей последовательно соединенные , и , опережает по фазе ток на угол , определяемый выражением (19.16). Полное сопротивление цепи , в соответствии с (19.17), также зависит от частоты и может быть записано в виде:

, (19.18)

где – полное реактивное сопротивление цепи. Из формулы (19.18) следует, что активное и реактивное сопротивления цепи складываются геометрически.

 

Методика измерений

В работе исследуются электрические процессы в цепях, состоящих из следующих последовательно соединенных элементов: а) двух резисторов с сопротивлениями R ₁ и R ₂ (цепь RR, рис. 19.3, а); б) резистора R ₂ и конденсатора С (цепь RC, рис. 19.3, б); в) резистора R ₂ и катушки индуктивности L (цепь RL, рис. 19.3, в).

Основным параметром, характеризующим изучаемые цепи, является коэффициент передачи цепи , представляющий собой отношение амплитуды напряжения на выходе цепи к амплитуде напряжения на ее входе :

(19.19)

Напряжение на выходе цепи равно падению напряжения на резисторе :

, (19.20)

то есть прямо пропорционально току в цепи и находится в одинаковой с ним фазе. Или, для амплитудных значений:

. (19.20а)

 

L   R1   U 1   R2   а)   U 2

б)   С U 1   R2 U 2

в)   U 1 R2 U 2

 

Рис.19.3

 

На основании соотношения (19.20а) коэффициент передачи цепи можно записать в виде:

(19.21)

Из соотношения (19.20) следует, что для измерения угла сдвига фаз между током в цепи и входным напряжением достаточно измерить угол сдвига фаз между напряжениями и .

Для схем, изображенных на рис. 19.3, найдем аналитически вид выражений для коэффициента передачи цепи и угла сдвига фаз . Для этого воспользуемся формулами (19.15), (19.16) и (19.21), подставляя в них соответствующие каждой схеме значения сопротивлений, напряжений и токов.

1. Цепь RR: ; ; ; .

Из (19.15):

; (19.22)

из (19.16):

; (19.23)

из (19.21) и (19.22):

. (19.24)

 

2. Цепь RC: ; ; ; .

Из (19.15):

; (19.25)

из (19.16):

; (19.26)

из (19.21) и (19.25):

. (19.27)

При высоких частотах (ω →∞): ≈ ; φ ≈0; К ≈1. Этот результат соответствует тому, что в цепи закорочен конденсатор С. При низких частотах (ω →0):

; ;

. (19.28)

Этот результат соответствует тому, что в цепи закорочен резистор .

 

3. Цепь RL: R = R₂; Х_L = ωL; Х_С =0; .

Из (19.15):

; (19.29)

из (19.16):

; (19.30)

из (19.21) и (19.29):

. (19.31)

При высоких частотах (ω →∞):

; ;

. (19.32)

Это соответствует тому, что в цепи закорочен резистор R₂. При низких частотах (ω→0): ; ; . Это соответствует тому, что в цепи закорочена индуктивность L.

Полученные результаты могут быть использованы для экспериментального определения параметров цепей R, С, L.

 

Экспериментальная часть

 

Приборы и оборудование: модуль ФПЭ-09, генератор (PQ), осциллограф (РО), источник питания (ИП).

 

На рис. 19.4 приведена электрическая схема.

В модуле ФПЭ-09 собраны изучаемые электрические цепи (рис.19.5). В нем находится также коммутатор А, применение которого позволяет наблюдать на экране однолучевого осциллографа одновременно два синусоидальных сигнала. Напряжение с входа изучаемой цепи подается на "Вx1" коммутатора, а напряжение с выхода изучаемой цепи – на "Вх2" коммутатора. С выхода коммутатора исследуемые напряжения подаются на вход Y осциллографа.

Рис. 19.4 Рис. 19.5

 

Генератор PQ является источником гармонической ЭДС. Выходное напряжение и частоту генератора можно менять в широких пределах.

Осциллограф РО служит для измерения амплитуд напряжений на входе и выходе цепи, а также для измерения угла сдвига фаз между током в цепи и входным напряжением.

Источник питания ИП предназначен для питания схемы коммутатора.

 

Порядок выполнения работы

Перед выполнением заданий ознакомиться с описаниями приборов, используемых в данной установке.

1. Установить исходное положение кнопочных переключателей на панели кассеты ФПЭ – 09: все кнопки отжаты.

2. Установить органы управления на панели осциллографа РО в положение, обеспечивающее измерение амплитуды и развертку во времени переменного напряжения. Ручку развёртки «Время/дел» поставить в положение «10», «Вольт/дел» – в положение «0.1». На панели осциллографа нажать кнопку «Внутр/внеш». Все остальные кнопки должны быть отжаты.

3. Присоединить все приборы к сети ~220 В. Включить приборы тумблерами «Сеть». Дать приборам прогреться в течение 3 – 5 мин.

4. Установить следующие параметры выходного сигнала генератора: частота – 20 кГц, напряжение – около 2 В.

5. Установить размах колебаний напряжения генератора на экране осциллографа в пределах примерно 2/3 экрана подбором коэффициента Ку канала вертикального отклонения сигнала осциллографа.

6. Получить устойчивое изображение сигнала генератора на экране.

7. Установить такую длительность развертки, при которой на экране наблюдается 2 – 3 периода исследуемого сигнала.

8. Отрегулировать окончательно вертикальный размер изображения сигнала генератора на экране осциллографа с помощью ручки плавной регулировки выходного напряжения генератора.

 

Задание 1. Изучение электрических процессов в цепи, содержащей два резистора.

1. Замкнуть с помощью кнопочного переключателя на панели кассеты ФПЭ – 09/ПИ ветвь, содержащую резистор R ₁.

2. Получить на экране осциллографа устойчивое изображение двух исследуемых сигналов. Вращая ручку усилителя осциллографа «Вольт/дел», установить вертикальный размер сигнала в пределах 2/3 экрана.

3. Зарисовать наблюдаемые колебания на миллиметровой бумаге. Убедиться, что угол сдвига фаз между током в цепи и входным напряжением равен нулю.

4. Произвести измерение амплитуд напряжений на входе и выходе цепи. Для этого измерить величину амплитуды каждого сигнала в делениях шкалы экрана и умножить полученные значения на коэффициент К _У канала вертикального отклонения осциллографа, который соответствует положению ручки усилителя «Вольт/дел». Все результаты записать в табл. 19.1.

Таблица 19.1

U 01	U 02		R 1 Ом	φ град.
U 01, дел	КУ, В/дел	U 01, B	U 02, дел	КУ, В/дел	U 02, B

 

5. Рассчитать значение коэффициента передачи цепи К по формуле (19.19).

6. Определить величину сопротивления резистора R ₁ из формулы (19.24):

, (19.33)

где R ₂=20 кОм.

7. Данные измерений и вычислений занести в таблицу 19.1.

Задание 2. Изучение электрических процессов в цепи, содержащей резистор и конденсатор.

1. Замкнуть с помощью кнопочного переключателя на панели кассеты ФПЭ – 09 ветвь, содержащую конденсатор С.

2. Получить на экране осциллографа устойчивое изображение двух исследуемых сигналов, отрегулировать из размеры.

3. Зарисовать колебания, наблюдаемые на экране осциллографа при частоте генератора 10 кГц.

4. Определить угол сдвига фаз между током в цепи и выходным напряжением при частоте 10 кГц. Для этого измерить в делениях шкалы экрана осциллографа сдвиг во времени ∆ t между изображениями двух исследуемых сигналов и период колебаний Т (рис. 19.6). Разность фаз рассчитать по формуле

(град). (19.34)

Рис. 19.6.

5. Повторить пункты 3 и 4 при частоте генератора 70 кГц.

6. Провести измерение амплитуд напряжений на выходе и входе цепи при различных значениях частоты генератора ν (по методике, описанной в пункте 4 задания 1). Частоту генератора менять в пределах от 10 до 70 кГц сначала с интервалом 5 кГц (до 30 кГц), а затем с интервалом 10 кГц.

7. Рассчитать значение коэффициента передачи цепи К по формуле (19.19) для всего исследованного диапазона частот.

8. Построить график зависимости коэффициента передачи цепи RC от частоты выходного напряжения К = f (ν).

9. С помощью графика К = f (ν) оценить величину емкости конденсатора С. Для этого воспользоваться линейным участком графика, который описывается формулой (19.28). Определив тангенс угла наклона линейного участка и приравняв его угловому коэффициенту зависимости (19.28), получим соотношение , откуда .

10. Рассчитать разность фаз φ по формуле (19.26) при двух значениях частоты генератора: 10 и 70 кГц. Сравнить результаты расчета с результатами непосредственного измерения угла φ.

11. Данные измерений и вычислений занести в таблицу 19.2.

Задание 3. Изучение электрических процессов в цепи, содержащей резистор и катушку индуктивности.

1. Замкнуть с помощью кнопочного переключателя на панели кассеты ФПЭ – 09 ветвь, содержащую катушку индуктивности L.

2. Ручкой осциллографа «Уровень» получить на экране устойчивое изображение двух исследуемых сигналов.

Таблица 19.2

ν, 103, Гц

U 01

U 02

С, Ф

∆ t, дел.

Т, дел.

φизм, град.

φрасч, град.

U 01, дел

КУ, В/дел.

U 01, В

U 02, дел.

КУ, В/дел.

U 02, В

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

3. Зарисовать колебания, наблюдаемые на экране осциллографа при частоте генератора 30 кГц.

4. Определить угол сдвига фаз между током в цепи и входным напряжением при частоте 30 кГц. Для этого измерить в делениях шкалы экрана осциллографа сдвиг во времени ∆ t между изображениями двух исследуемых сигналов и период колебаний Т (см. на рис. 19.6). Разность фаз рассчитать по формуле (19.34). Данные занести в таблицу 19.3.

5. Повторить пункты 3 и 4 при частоте генератора 100 кГц.

6. Провести измерение амплитуд на входе и выходе цепи при различных значениях частоты генератора ν (по методике, описанной в пункте 4 задания 1). Частоту генератора менять в пределах от 30 до 100 кГц с интервалом 10 кГц.

7. Рассчитать значения коэффициента передачи цепи К по формуле (19.19) для всего исследованного диапазона частот.

8. Построить график зависимости .

9. С помощью графика оценить величину индуктивности катушки L. Для этого воспользоваться линейным участком графика, который описывается формулой (19.32). Определив тангенс угла наклона линейного участка и приравняв его угловому коэффициенту зависимости (19.19), получим соотношение , откуда .

10. Рассчитать разность фаз φ по формуле (19.30) при двух значениях частоты генератора: 30 и 100 кГц. Сравнить результаты расчета с результатами непосредственного измерения угла φ.

11. Данные измерения и вычислений занести в таблицу 19.3.

Таблица 19.3

ν, кГц

10-5 с

U 01

U 02

L, Гн

∆ t, дел.

Т, дел.

φизм, град.

φрасч, град

U 01, дел.

КУ, В/дел.

U 01, В

U 02, дел.

КУ, В/дел.

U 02, В

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

 

 

Контрольные вопросы

1. Какой ток называется квазистационарным? Напишите условие квазистационарности.

2. Выведите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, используя второе правило Кирхгофа.

3. Получите выражение: а) для емкостного сопротивления; б) для индуктивного сопротивления.

4. Чему равен сдвиг фаз между током и напряжением на емкостном сопротивлении? На индуктивном?

5. В чем заключается метод векторных диаграмм?

6. Используя метод векторных диаграмм, выведите формулы (19.15), (19.16) и (19.17).

7. Постройте векторную диаграмму для цепи, содержащей последовательно соединенные: а) R и С; б) R и L. Определите с помощью векторной диаграммы для каждой цепи сопротивление Z и сдвиг фаз между током и ЭДС.

8. Получите выражение для коэффициента передачи для схемы, состоящей: а) из R и С; б) из R и L.

9. Как в работе проводится оценка: а) величины емкости конденсатора С; б) величины индуктивности катушки L?

 

Используемая литература

[1] § 28.3;

[2] §§ 20.1, 20.2, 20.3;

[3] §§ 3.10;

[4] т.2, §§ 91, 92;

[5] §§ 148, 149.

 

Лабораторная работа 2-20