Частотные характеристики звеньев

Если подать на вход динамического звена сигнал вида или в форме Эйлера , то выходной сигнал будет иметь вид или в форме Эйлера . Отношение выходного сигнала к входному называется частотной передаточной функцией:

 

.

 

Здесь A (ω) – модуль частотной передаточной функции (отношение амплитуд выходного и входного сигналов), φ(ω) – аргумент частотной передаточной функции (сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного).

Частотная передаточная функция является комплексной, и в ней можно выделить действительную и мнимую части:

 

.

 

Пользуясь такой моделью, можно получить ряд частотных характеристик звена.

1. Амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ) – изображение частотной передаточной функции на комплексной плоскости (U, V) при изменении частоты от 0 до ∞.

2. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – зависимость модуля частотной передаточной функции от частоты:

 

.

 

3. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – зависимость аргумента частотной передаточной функции от частоты:

 

.

 

4. Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) – зависимость вещественной части передаточной функции от частоты P = U (ω).

5. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) – форма представления АЧХ, когда по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат – модуль частотной передаточной функции в децибелах:

 

.

 

6. Логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ) – отличается от ФЧХ логарифмическим масштабом оси абсцисс (частот), масштаб оси ординат обычный.

Временные и частотные характеристики типовых звеньев приведены ниже.

 

Позиционные звенья

В зависимости от вида полинома C (p) имеют следующие разновидности.

1. Безынерционное (идеальное, усилительное) звено.

Уравнение звена , передаточная функция W (p) = k.

Как видно из уравнения, звено изменяет только уровень входного сигнала, не меняя его форму. Безынерционными считают звенья, инерционностью которых можно пренебречь: делители напряжения, рычаги и т. д.

 

2. Апериодическое звено 1-го порядка.

Уравнение звена , передаточная функция .

В процессе работы звена проявляется его инерционность, которая оценивается постоянной времени T. Для апериодических звеньев 1-го порядка T соответствует времени, за которое выходная величина достигает 63% установившегося значения.

Примерами звеньев могут служить нагревательные элементы, приводы различных типов (электрические, гидравлические, пневматические), датчики различных величин (терморезисторы, термопары и т. д.).

Пример. Металлические термометры сопротивления имеют практически линейную характеристику, поэтому коэффициент передачи постоянен во всем диапазоне измерений. Например, для платинового термометра сопротивления со стандартной градуировкой Pt100 при повышении температуры от 0 до 20°С сопротивление изменяется от 100,00 до 107,79 Ом. Коэффициент передачи:

 

Ом/°С.

 

Для оценки динамических свойств термометров сопротивления нормируется показатель тепловой инерции – время, необходимое для того, чтобы при внесении термометра в среду с постоянной температурой, разность температуры среды и любой точки термометра составила 0,37 значения температуры среды. Следовательно, для термометра сопротивления показатель тепловой инерции и постоянная времени равнозначны.

Например, по паспортным данным термометра сопротивления платинового ТСП-1287 с градуировкой Pt100 показатель тепловой инерции равен 8 с. Следовательно, постоянная времени имеет то же значение, коэффициент передачи рассчитан ранее, и передаточная функция имеет вид

 

.

 

3. Апериодическое звено 2-го порядка.

Уравнение звена или , передаточная функция .

В данном случае инерционность звена определяется двумя постоянными времени, причем конкретный физический смысл могут иметь как значения T ₁, T ₂, T ₃, T ₄, так и их комбинации. Например, для двухступенчатого RC -фильтра (рис. 3.3) передаточная функция:

 

, где T ₃ = R 1 C 1, T ₄ = R 2 C 2, k = 1.

 

Рис. 3.3

 

В этом случае рассматривается последовательное соединение двух апериодических звеньев 1-го порядка.

Для электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением при управлении частотой вращения с помощью напряжения на якоре передаточная функция

 

, где , .

 

Здесь Т _э – электрическая постоянная времени; Т _м – электромеханическая постоянная времени (подробности их расчета можно узнать из [6]).

4. Колебательное звено.

Уравнение звена или , передаточная функция

 

.

 

В отличие от апериодического звена второго порядка здесь T ₁ < 2 T ₂, и полином не раскладывается на множители вида Tp + 1. Переход звена из одного статического состояния в другое сопровождается затухающими колебаниями выходной величины, причем скорость затухания зависит от параметра затухания ξ, который находится в пределах 0 < ξ < 1. Чем ближе значение параметра к единице, тем быстрее затухают колебания. Частотная характеристика колебательного звена характеризуется наличием резонанса на частоте 1/ T.

Примерами колебательных звеньев являются маятник, акселерометр, колебательный контур (рис. 3.4).

Для колебательного контура

 

, , .

 

Рис. 3.4 – Последовательный колебательный контур

 

5. Консервативное звено.

Если в колебательном звене устранить потери энергии или восполнять их из отдельного источника, получим незатухающие колебания. В этом случае ξ = 0, уравнение и передаточная функция имеют вид

 

;

 

Примерами консервативных звеньев могут служить механические и электрические генераторы.

 

 

Интегрирующие звенья

1. Идеальное интегрирующее звено

Уравнение звена , передаточная функция .

Как видно из передаточной функции, инерционностью звена при расчетах пренебрегают. К идеальным интегрирующим звеньям можно отнести резервуар с жидкостью (входная величина – расход поступающей жидкости, выходная – уровень жидкости), интегрирующий усилитель (рис. 3.5, а), гидравлический или механический демпфер (цилиндр с поршнем, входная величина – сила на поршне, выходная – его перемещение) (рис. 3.5, б).

 

Рис. 3.5

 

2. Реальное интегрирующее звено (с замедлением)

Если более точно рассматривать уравнения идеальных интегрирующих звеньев и учитывать их инерцию, получим реальные интегрирующие звенья с уравнением и передаточной функцией .

Примером может служить электродвигатель, если в качестве выходной величины рассматривать не скорость вращения, а угол поворота. Передаточная функция

 

или .

 

 

 

 

3. Изодромное звено

Представляет собой комбинацию в виде параллельного соединения идеального интегрирующего и безынерционного звеньев и имеет уравнение и передаточную функцию .

Примерами могут служить изодромный усилитель (рис. 3.6, а) и пружинно-гидравлический демпфер (рис. 3.6, б).

 

Рис. 3.6

 

Также можно изодромное звено может быть построено как последовательное соединение идеального интегрирующего и форсирующего звеньев (см. пункт «Дифференцирующие звенья»):

 

.

 

Таким способом из интегрирующего привода получают форсирующий, что позволяет обеспечить толчок при трогании с места. Это хорошо видно на переходной характеристике и позволяет легче перемещать крупные тяжелые объекты.

 

 

Дифференцирующие звенья

1. Идеальное дифференцирующее звено

Уравнение звена , передаточная функция . Как видно из передаточной функции, инерционностью звена при расчетах пренебрегают. К идеальным дифференцирующим звеньям относят тахогенераторы, если входная величина – угол поворота, выходная – напряжение (рис. 3.7, а), дифференцирующий усилитель (рис. 3.7, б).

 

Рис. 3.7

 

2. Реальное дифференцирующее звено (с замедлением)

Если более точно рассматривать уравнения идеальных дифференцирующих звеньев и учитывать их инерцию, получим реальные дифференцирующие звенья с уравнением и передаточной функцией .

Дополнительно примерами могут служить RC и RL цепи (рис. 3.8).

 

Рис. 3.8

 

 

3. Форсирующие звенья

Представляют собой комбинации дифференцирующих и позиционных звеньев:

 

Звено	Передаточная функция

 

Звенья с запаздыванием

Представляют собой комбинацию либого из рассмотренных звеньев и звена чистого запаздывания, которое описывается дифференциально-разностным уравнением . По теореме запаздывания для преобразования Лапласа передаточная функция . Переходная характеристика звена представляет собой функцию Хевисайда, смещенную относительно входного сигнала на время запаздывания τ.

Примерами звеньев с запаздыванием могут служить акустические линии связи (τ – время прохождения звука), транспортеры (τ – время движения ленты), трубопроводы (τ – время распространения давления).

Для построения АФЧХ любого звена с запаздыванием нужно взять АФЧХ аналогичного звена без запаздывания и каждую ее точку сместить вдоль окружности по часовой стрелке на угол τω, где ω – частота, соответствующая этой точке. На рис. 3.9 показана АФЧХ комбинации апериодического звена 1-го порядка и звена чистого запаздывания, т. е. , .

 

Рис. 3.9

 

Практическое задание

 

Часть 1. Исследование временных характеристик звеньев

1. Запустить на выполнение файл «Позиционные звенья.vsm».

2. Для апериодических звеньев 1-го порядка задать значения постоянных времени и коэффициентов передачи. Проанализировать, как влияют заданные параметры на форму временных характеристик.

3. Для апериодических звеньев 2-го порядка задать значения постоянных времени и коэффициентов передачи. Проанализировать, как влияют заданные параметры на форму временных характеристик.

4. Для колебательных звеньев задать значения постоянных времени, коэффициентов передачи и параметров затухания. Проанализировать, как влияют заданные параметры на форму временных характеристик.

5. Для консервативных звеньев задать значения постоянных времени и коэффициентов передачи. Проанализировать, как влияют заданные параметры на форму временных характеристик.

6. Выполнить аналогичные действия с файлами «Интегрирующие звенья.vsm», «Дифференцирующие звенья.vsm».

7. Запустить на выполнение файл «Неизвестное звено.vsm». Запустить процесс моделирования и по полученным временным характеристикам определить передаточную функцию звена.

Часть 2. Исследование частотных характеристик звеньев

1. Запустить на выполнение файл «Позиционные звенья.vsm».

2. Для апериодических звеньев 1-го порядка задать значения постоянных времени и коэффициентов передачи. Выделить одно из звеньев и с помощью меню Analyze – Frequency Response получить ЛАЧХ (Magnitude) и ЛФЧХ (Phase). С помощью меню Analyze – Nyquist Response получить АФЧХ (Imaginary). Для удобства просмотра увеличить размеры окон и включить сетку (Grid Lines в настройках осциллографа). Получить те же характеристики для звена с другими значениями постоянной времени и коэффициента передачи.

3. Те же действия выполнить для других видов позиционных звеньев.

4. Выполнить аналогичные действия с файлами «Интегрирующие звенья.vsm», «Дифференцирующие звенья.vsm».

5. Запустить на выполнение файл «Неизвестное звено.vsm». Запустить процесс моделирования. Получить ЛАЧХ и ЛФЧХ и по ним определить передаточную функцию звена.

 

Структурные схемы САУ

 

Структурная схема системы автоматического управления – графическое изображение структуры системы автоматического управления (части системы автоматического управления). Структурные схемы в автоматике используются для отражения взаимодействия динамических звеньев, т.е. представляют собой математические модели системы автоматического управления.

Основные элементы структурной схемы – динамическое звено, узел, сумматор, сравнивающее устройство (вычитатель). Они показаны на рис. 3.10.

 

Рис. 3.10. Элементы структурных схем

а – динамическое звено; б – узел; в – сумматор; г – сравнивающее устройство

 

Динамические звенья в структурных схемах могут образовывать различные соединения, основными являются последовательное, параллельное и встречно параллельное (рис. 3.11).

 

а)
б)
в)
г)
д)

Рис. 3.11. Соединения динамических звеньев

а – последовательное; б – параллельное; в – параллельное с вычитанием;

г – встречно-параллельное с отрицательной обратной связью;

д – встречно-параллельное с положительной обратной связью

 

Если соединения звеньев имеют сложный вид, общую передаточную функцию получают переходом к основным видам соединений с помощью следующих правил преобразования.

1. Однотипные элементы, расположенные последовательно, можно менять местами:

 

 

2. Узел можно переносить со входа на выход динамического звена:

 

 

3. Узел можно переносить с выхода на вход динамического звена:

 

 

4. Сумматор (сравнивающее устройство) можно переносить со входа на выход динамического звена:

 

 

5. Сумматор (сравнивающее устройство) можно переносить с выхода на вход динамического звена:

 

 

6. Узел можно переносить с выхода на вход сумматора:

 

 

7. Можно переходить к единичной обратной связи:

 

 

Пример преобразования схемы.

 

 

Итоговая передаточная функция:

 

 

или после преобразования

 

Литература: [1, c. 89 – 149], [4, c. 56 – 113]

АНАЛИЗ КАЧЕСТВА САР