Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля.

Потенциал является важной характеристикой электрического поля, он определяет всевозможные энергетические характеристики процессов, проходящих в электрическом поле. Кроме того, расчет потенциала поля проще расчета напряженности, хотя бы потому, что является скалярной (а не векторной) величиной. Безусловно, что потенциал и напряженность поля связаны меду собой, сейчас мы установим эту связь. Пусть в произвольном электростатическом поле точечный заряд q совершил малое перемещение из точки 1 в точку 2 (Рис. 179). Пренебрегая изменением напряженности поля на этом участке, работу, совершенную полем можно записать в виде

.

По определению эта величина равна разности потенциалов, взятой с противоположным знаком, деленной на величину заряда, поэтому

. (1)

Если расстояние между точками 1 и 2 не является малым, то необходимо эти точки соединить произвольной линией (Рис. 180), разбить ее на малые участки и просуммировать разности потенциалов между (1) ними

. (2)

Формула (2) позволяет рассчитать разность потенциалов между произвольными точками, по известным значениям напряженности поля во всех точках.

Б 40

Эквипотенциальные поверхности. Вычисление потенциала в поле заданных зарядов (точечный заряд, система точечных зарядов, непрерывно распределенный заряд).

Эквипотенциальная поверхность — понятие, применимое к любому потенциальному векторному полю, например, к статическому электрическому полю или к ньютоновскому гравитационному полю. Эквипотенциальная поверхность — это поверхность, на которой скалярный потенциал данного потенциального поля принимает постоянное значение (поверхность уровня потенциала). Другое, эквивалентное, определение — поверхность, в любой своей точке ортогональная силовым линиям поля.

Поверхность проводника в электростатике является эквипотенциальной поверхностью. Кроме того, помещение проводника на эквипотенциальную поверхность не вызывает изменения конфигурации электростатического поля. Этот факт используется в методе изображений, который позволяет рассчитывать электростатическое поле для сложных конфигураций.

В (стационарном) гравитационном поле уровень неподвижной жидкости устанавливается по эквипотенциальной поверхности. В частности, приближенно можно утверждать, что по эквипотенциальной поверхности гравитационного поля Земли проходит уровень океанов^[1]. Форма поверхности океанов^[2], продолженная на поверхность Земли, называется геоидом и играет важную роль в геодезии. Геоид, таким образом является эквипотенциальной поверхностью силы тяжести, состоящей из гравитационной и центробежной составляющей.

Пусть имеется один точечный заряд q. Это частный случай сферической симметрии. У нас есть формула:

, где q(r) – заряд внутри сферы радиуса r, но если заряд точки, то для точечного заряда q(r)=q, при любом r. Понятно почему, на любом радиусе внутри сферы точка остаётся точкой. И для точечного заряда

. Это поле точечного заряда. Потенциал поля точечного заряда:

Пусть мы имеем систему зарядов , тогда напряжённость поля, создаваемая системой точечных зарядов, в любой точке равна сумме напряжённостей, создаваемых каждым из зарядов. Я мог бы сразу написать , если бы вы свободно читали формулы. Учитесь читать формулы повествовательно. Заряд умножьте на вектор , и разделите на модуль этого вектора, а что такое модуль вектора это длина. Эта вся штука даёт вектор, направленный вдоль вектора .

Процедура вычисления потенциала эл.поля, созданного распределенным зарядом.

Если эл.поле задается зарядом, распределенным по объему и непрерывным в пространстве,то потенциал такого электрост. поля вычисляется следующим образом:

dφ = dq / 4πε₀| R - r |

φ = ∫ dq / 4πε₀| R - r | R - r

Б 41