Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-08-24 | 197 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
П.1.1.1. Основные понятия
Опр. Диф.уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.
Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным, если же независимых переменных две или более, то уравнение называется диф.уравнением в частных производных.
Обозначение: , (разрешенное относительно старшей производной), .
Опр. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком ДУ.
Рассмотрим примеры ДУ:
1. ; ОДУ ____________ порядка
2. ; ОДУ ___________ порядка
3. ; ОДУ _________ порядка
4. ; Уравнение в частных производных _________ порядка
Данная глава посвящена только ОДУ, т.е. уравнение в частных производных рассматриваться здесь не будут, поэтому говоря ДУ, мы всюду далее будем понимать ОДУ.
В данном параграфе рассматриваются ДУ первого порядка.
Общий вид ДУ первого порядка: или в разрешенном виде относительно производной .
Опр. Решением ДУ называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.
Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием ДУ.
Опр. Общим решением ДУ первого порядка в области D называется функция , обладающая свойствами:
1) Она является решением данного уравнения при любых значениях постоянной ;
2) Для любого начального условия такого, что , существует единственное значение , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.
Опр. Всякое решение , получающееся из общего решения при конкретном значении , называется частным решением.
|
Опр. Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию , называется задачей Коши.
С геометрической точки зрения общее решение ДУ представляет собой семейство так называемых интегральных кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С, а график частного решения, удовлетворяющего начальному условию , - есть кривая этого семейства, проходящая через точку .
Теорема о существовании и единственности решения ДУ (теорема Коши).
Если в уравнении функция и её частная производная по y непрерывны в некоторой области D на плоскости Оxy, то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию .
С геометрической точки зрения: существует и притом единственная функция , график которой проходит через точку .
ДУ второго порядка
П.1.2.1. Основные понятия
Опр. Уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y(x), а также её первые две производные , называется ДУ второго порядка.
Вид: или .
Задача Коши в случае ДУ второго порядка выглядит:
, .
Опр. Решением ДУ второго порядка называется всякая функция , которая при подстановке вместо в это уравнение обращает его в тождество.
Опр. Общим решением ДУ второго порядка называется функция , зависящая от двух произвольных постоянных и такая, что:
1) Она является решением этого уравнения при любых конкретных значениях ;
2) При любых допустимых начальных условиях можно подобрать такие значения постоянных, что функция будет удовлетворять этим начальным условиям.
Опр. Любая функция , получающаяся из общего решения при конкретных значениях , называется частным решением этого уравнения.
П.1.3.1. Основные понятия
Опр. Уравнение вида (1), где - независимая переменная, - искомая функция, - заданные функции, причем непрерывна на отрезке , называется линейным ДУ II порядка.
|
Если , то уравнение (1) называется однородным, если , то уравнение (1) называется неоднородным.
Выразим из уравнения (1):
(2)
(3)
(4)
Задача (2) – (4) есть задача Коши для линейного ДУ второго порядка.
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!