Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-07-24 | 193 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница
где F(x) ‒ первообразная для функции f(x). Таким образом, определенный интеграл равен разности значений первообразной на концах промежутка.
Сформулируем и докажем теоремы, обосновывающие справедливость этой основной формулы математического анализа.
Теорема о существовании первообразной. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то функция дифференцируема в любой внутренней точке х этого отрезка, причем Ф'(х) = f(x), то есть функция Ф(х) является первообразной функции f(x).
Доказательство. Найдем производную функции Ф(x), являющейся интегралом с переменным верхним пределом. Для этого вначале выберем столь малым, чтобы точка х + ∆ x лежала внутри отрезка [ а, b ], и построим приращение функции Ф(x).
К полученному интегралу применим теорему о среднем:
, где
Следовательно, . Поскольку f(x) непрерывна и при , то Поэтому производная
Этим показано, что функция, являющаяся интегралом от функции f(x) с постоянным нижним и переменным верхним пределом х, есть одна из первообразных функций от функции f(x). Этот факт, установленный Ньютоном и Лейбницем, показывает, что дифференциальное и интегральное исчисление представляет собой нечто единое, и известен как основная теорема математического анализа.
Теперь выведем основную формулу математического анализа.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ а, b ], то
.
Доказательство. В силу непрерывности на отрезке [ a, b ] функция f(x) интегрируема и на основании основной теоремы математического анализа имеет первообразную .
Первообразных у функции бесконечно много, и все они отличаются друг от друга на произвольную постоянную (обозначим ее через С). Поэтому, если F(x) — первообразная для f(х), то:
|
,
Константу легко выразить через значение первообразной F в точке а. Действительно принимая во внимание, что , получим: -F(a) = С. Поскольку , то для точки b с переменной интегрирования х, получаем основную формулу математического анализа — формулу Ньютона-Лейбница.
Эта формула дает следующее правило: для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции, а затем вычислить разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределе.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Одна из первообразной функции х 3 есть функция х 4/4. Поэтому:
.
Формулу Ньютона-Лейбница при вычислении определенного интеграла удобно записывать, используя знак подстановки в следующем виде: .
При вычислении определенного интеграла используются те же основные приемы, что и при вычислении неопределенного интеграла.
1.Формула интегрирования по частям.
.
Пример. Вычислить .
Решение. Прямому вычислению данного интеграла препятствует наличие сомножителя х в подынтегральном выражении поскольку производная от х по х равна 1, то целесообразно положить u = х. Тогда:
.
2.Замена переменной в определенном интеграле.
Во многих случаях подынтегральное выражение можно упростить, если заметить, что его часть является дифференциалом некоторой функции. Тогда можно записать:
,
где x = j(t), j(α) = a, j(β) = b, т. е. [j(α); j(β)] = [ a, b ].
Несобственные интегралы
Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток интегрирования был конечен и непрерывная подынтегральная функция ограничена. Когда не выполняется одно или оба эти условия, приходится прибегать к понятию несобственного интеграла.
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!