Приемы отработки умения правильно читать выражения и вычислительные упражнения разными формулировками.

1. Прием «делай как я». Правильная речь учителя, за которым дети повторяют формулировки, основа грамотной математической речи школьников. Значительный эффект дает использование приема сравнения формулировок, которые произносят дети, с заданным образцом, Полезно использовать прием, когда учитель специально допускает речевые ошибки, а дети его исправляют.

2. Дать несколько выражений и предложить прочитать эти выражения разными способами. Один ученик читает выражение, а другие проверяют. Полезно давать столько выражений, сколько формулировок знают дети к этому времени.

3. Учитель диктует выражения разными способами, а дети записывают сами выражения, не вычисляя их значение. Такие задания направлены на то, чтобы проверить знание детьми математической терминологии, а именно: умение записывать выражения или вычислительные упражнения разными способами.

Для проверки сформированности вычислительного навыка полезно читать выражения или вычислительные упражнения, только теми формулировками, которые хорошо усвоены, не заботясь об их разнообразии, а детям предложить записывать только результаты вычислений, сами выражения не записывать.

Требования к проведению диктантов.

1. темп – прочитать выразительно, делая паузу перед числом, логическое ударение ставить на то слово, которое определяет выбор действия. Читаем один раз, а скорость можно определить так: прочитали и про себя повторили с такой же скоростью как прочли детям, а затем читаем новое выражение.

2. скорость – 1кл – 8 - 10 выражений за 5 минут

- 2кл – 18 – 20 выражений (устно) 8 -10 выражений (письменно).

 

Составные выражения, содержащие знаки «+», «-» и скобки изучаются с первого класса.(Ряд программ не предусматривают изучение скобок в первом классе (М.М.), (М. И.), (М. П.), а вводят их при изучении свойств арифметических действий (сочетательное свойство суммы) во втором классе). Скобки вводятся как знаки, с помощью которых показывают порядок выполнения действий в выражениях содержащих более одного действия. В дальнейшем дети знакомятся с составными выражениями, содержащими действия первой и второй ступеней со скобками и без них. Изучение составных выражений сопровождается изучением правил порядка действий в этих выражениях и способов чтения составных выражений. Значительное внимание во всех программах уделяется преобразованию выражений, которые осуществляются на основании сочетательного свойства суммы и произведения, правил вычитания числа из суммы и суммы из числа, умножения суммы на число и деления суммы на число. На наш взгляд, недостаточно упражнений направленных на формирование умения читать составные выражения, что, естественно, скажется на умении решать уравнения вторым способом (см. ниже). В последних изданиях УМК (учебно-методический комплекс) по математике для начальных классов по всем программам большое внимание уделяется заданиям на составление программ и алгоритмов вычислений для составных выражений в три - девять действий.

Программа Истоминой.

В 1 классе вводится понятие значения выражения, а также результаты компонентов сложения. Математическая запись со знаком «+».

Требование к уроку – научность математического языка.

Программа «2100».

Слово выражение дается, отрабатываются существенные признаки. Дается несколько математических записей и сказано, что они называются выражением.

Равенством называют запись, содержащую два выражения соединенные знаком «=» «равно». Равенства бывают верными и неверными. Если значения выражений, стоящих в левой и правой части равенства, совпадают, то равенство считается верным, если нет, то равенство будет неверным.

 

Большинство заданий в математике связано с вычислением значения выражения. Если значение выражения найдено, то результат выполнения вычислительного действия записывают в виде равенства. Например, 3+1=4. Если значение выражения вычислили верно, то равенство называют верным, если неверно, то записанное равенство считают неверным.

С равенствами дети знакомятся в первом классе одновременно с понятием «выражение», в теме «Числа первого десятка». Осваивая символическую модель образования последующего и предыдущего числа, дети записывают равенства 2+1=3 и 4-1=3. В дальнейшем равенства активно используются при изучении состава однозначных чисел и далее практически с этим понятием связано изучение каждой темы в курсе математики начальной школы. Вопрос о введении понятия «верное» и «неверное» равенство в различных программах решается неоднозначно. В ряде программ (М.П) это понятие вводят одновременно с записью равенства, в других (М1М), при изучении темы «состав однозначных чисел» в записях равенства «с окошком» (…+3=5; …+…=5; …+…=…). Подбирая число, которое можно вставить в окошко, дети убеждаются в том, что в одних случаях получаются верные, а в других неверные равенства. Следует заметить, что данные математические записи с одной стороны позволяют закрепить состав чисел, с другой дают представление о переменной величине и являются подготовкой к усвоению понятия «уравнение».

 

Процесс сравнения чисел, а затем выражений, и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств. Неравенства, как и равенства, могут быть верными и неверными. Поскольку отдельно взятое число есть элементарное выражение, то определение неравенства в обобщенном виде может звучать так: «два выражения, соединенные знаком сравнения «больше», «меньше», называют неравенством».

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах и неравенствах при сравнении выражений используется прием вычисления значений выражений и последующего сравнения их значений. Так, например, в М.М. детям сообщается правило: «Сравнить выражения – значит сравнить их значения». Ценным является и другой способ обоснования сравнения выражений, который опирается на свойства действий или правила зависимости изменения результата действия в связи с изменением

Равенство, содержащее переменную величину, называют уравнением. Решить уравнение - значит, найти такое значение переменной величины (корень уравнения), при котором уравнение преобразуется в верное числовое равенство. Значение переменной, при котором уравнение преобразуется в верное равенство, называют корнем уравнения.

В некоторых программах введение понятия «переменной» не предусматривается (М1М, М.И.). В них уравнение трактуется как равенство, содержащее неизвестное число и далее, решить уравнение, значит, найти такое число, при подстановке которого вместо неизвестного получается верное равенство. Это число называют значением неизвестного или решением уравнения. Таким образом, термин «решение уравнения» используется в двух смыслах: как число (корень), при подстановке которого вместо неизвестного числа уравнение обращается в верное равенство, и как сам процесс решения уравнения.

В большинстве программ и систем обучения в начальной школе рассматривают два способа решения уравнения.

Первый способ называют способом подбора, что вполне отражает действия производимые ребенком при его использовании. При этом способе значение неизвестного числа подбирается либо из произвольного множества чисел, либо из заданной их совокупности. После каждого выбора значения осуществляется проверка правильности решения. Сущность проверки вытекает из определения уравнения и сводится к выполнению четырех взаимосвязанных действий:

1. В заданное уравнение вместо неизвестного числа подставляется найденное значение.

2. Вычисляется значение левой и правой части уравнения (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т.е. числом).

3. Сравнивается значение левой и правой части полученного равенства.

4. Делается вывод о верности или неверности полученного равенства и далее, является ли найденное число решением (корнем) уравнения.

На первых порах практически выполняется только первое действие, а остальные проговариваются. Этот алгоритм проверки сохраняется для каждого способа решения уравнения.

Ряд авторов программ и систем обучения (М.П.,М.Д.) для решения простых уравнений используют зависимость между частью и целым.

8+Х=10; 8 и Х- части; 10 – целое. Чтобы найти часть можно из целого вычесть известную часть: Х=10-8; Х=2.В этих системах обучения, еще на этапе решения уравнений способом подбора в речевую практику вводится понятие «корень уравнения» и сам способ решения называют решением уравнения с помощью «подбора корней» (М.1.П.).

Второй способ решения уравнения опирается на зависимость между результатом и компонентами действия. Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из компонентов. Например, зависимость между значением суммы и одним из слагаемых звучит так: «если из значения суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое». Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из слагаемых: «чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из значения суммы вычесть известное слагаемое». Решая уравнение, дети рассуждают так:

Задание: реши уравнение 8+х=11

В данном уравнении неизвестно второе слагаемое. Мы знаем, чтобы найти второе слагаемое можно из значения суммы вычесть второе слагаемое. Значит надо из 11 вычесть 8. Записываю: Х=11-8 Вычисляю, 11 минус 8 равно 3, пишу Х=3

Далее делается проверка по выше указанному алгоритму.

Полная запись решения с проверкой будет иметь следующий вид:

8+х=11

х=11-8

х=3

8+3=11

11=11

Названным выше способом решаются уравнения с двумя и более действиями со скобками и без них. В этом случае нужно определить порядок действий в составном выражении и, называя компоненты в составном выражении по последнему действию, следует выделить неизвестное, которое в свою очередь может быть выражением на сложение, вычитание, умножение или деление (выражено суммой, разностью, произведением или частным). Затем применяют правило для нахождения неизвестного компонента, выраженного суммой, разностью, произведением или частным, учитывая названия компонентов по последнему действию в составном выражении. Выполнив вычисления в соответствии с этим правилом, получают простое уравнение (или снова составное, если первоначально в выражении было три или более знаков действий). Его решение проводится по уже описанному выше алгоритму. Например.

Задание: реши уравнение (х+2):3=8

В данном уравнении неизвестно делимое, выраженное суммой чисел Х и 2. (В соответствии с правилами порядка действий в выражении, записанном справа от знака равенства, действие деления выполняют последним).

Чтобы найти неизвестное делимое, можно значение частного умножить на делитель: Х+2=8*3

Вычисляем значение выражения справа от знака равенства, получаем: Х+2=24.

Далее получаем уравнение на нахождение неизвестного слагаемого и рассуждаем как в предыдущем примере.

Полная запись имеет вид: (х+2):3=8

Х+2=8*3

Х+2=24

Х=24-2

Х=22

(22+2):3=8

8=8

В программе Л.Г.Петерсон, в связи с широким использованием алгоритмов и их видов, дается алгоритм (блок – схема) решения таких уравнений (М.3.П.).

Найти последнее действие

Выделить неизвестный компонент

Применить правило нахождения неизвестного компонента

Упростить правую часть

Корень уравнения найден?

Нет. Да.

Сделать проверку.

Второй способ решения уравнений достаточно громоздкий, особенно для составных уравнений, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия применяется многократно. В связи с этим, многие методисты, авторы программ (М.М., М.И.) не включают в программу начальных классов знакомство с уравнениями сложной структуры и ограничиваются изучением уравнений следующих видов:

Х+2=6; 5+Х=8 - уравнения на нахождение неизвестного слагаемого;

Х-2=6; 5-Х=3 - уравнения на нахождение неизвестного уменьшаемого и вычитаемого соответственно;

Х*5=20, 5*Х=35- уравнения на нахождение неизвестного множителя;

Х:3=8, 6:Х=2 - уравнения на нахождение неизвестного делимого и делителя соответственно.

Х*3= 45-21; Х* (63-58)=20; (58-40):Х=(2*3)- уравнения, где одно или два числа, входящих в уравнение, представлено числовым выражением. Способ решения этих выражений сводится к вычислению значений этих выражений, после чего уравнение принимает вид одного из простых уравнений выше указанных видов.

Ряд альтернативных программ обучения математике в начальных классах (М.П.; М.З.) практикуют знакомство детей с более сложными уравнениями, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия приходится применять многократно и, нередко, требуют выполнения действий по преобразованию одной из частей уравнений на основе свойств математических действий. Например, в программе (М.3.П., М.3.З.) для решения предлагаются такие уравнения:

3х-(20+х)=70 или 2*х-8+5*х=97.

Третий способ решения уравнений опирается на теоремы о равносильности уравнений и следствия из них. Например, одна из теорем о равносильности уравнений в упрощенной формулировке читается так: «Если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному».

Из данной теоремы вытекают следствия, которые и используются при решении уравнений.

Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим новое уравнение равносильное данному.

Следствие 2. Если в уравнении одно из слагаемых (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение равносильное данному.

Таким образом, процесс решения уравнения сводится к замене данного уравнения, равносильным, причем эта замена (преобразование) может осуществляться только с учетом теорем о равносильности уравнений или следствий из них. Этот способ решения уравнений является универсальным, с ним детей знакомят в системе обучения Л.В. Занкова (М. А.) и в старших классах.

В методике работы над уравнениями накоплено большое число творческих заданий:

· на выбор уравнений по заданному признаку из ряда предложенных;

· на сравнение уравнений и способов их решений;

· на составление уравнений по заданным числам;

· на изменение в уравнении одного из известных чисел так, чтобы значение переменной стало больше, чем (меньше; чем) первоначально найденное значение;

· на подбор известного числа в уравнении;

· на составление алгоритмов решения с опорой на блок схемы решения уравнений или без них;

· составление уравнений по текстам задач.

 

Технологии изучения геометрического материала в курсе математики начальных классов

План лекции:

1. Цель и задачи введения геометрического материала в курс математики

2. Содержание ГМ в начальных классах.

3. Уровни развития мышления в области геометрии

4. Подходы к изучению ГМ в начальных классах

5. Виды геометрических заданий и методика работы над геометрическим заданием определенного вида.