Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-07-01 | 1140 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Мера Жордана. Критерий измеримости
Пусть - ограниченное множество, А- прямоугольник, ,
- характеристическая функция множества E.
Определение. Множество Е измеримо по Жордану или имеет объем , если , при этом .
Это определение на самом деле не зависит от выбора прямоугольника А и в этом смысле является корректным. Пусть
- множество всех внутренних точек множества Е,
- внешность множества Е или внутренность дополнения множества Е,
-граница множества Е.
Теорема. (Критерий измеримости по Жордану). Е измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда
Доказательство. Е измеримо по Жордану .
Докажем равенство , т.е. что множество точек разрыва характеристической функции совпадает с границей множества.
Рассмотрим три случая для точек прямоугольника А
1. Точка . Тогда существует окрестность такая, что .
2. Точка существует окрестность такая, что
.
3. Точка
.
2. Двойной интеграл по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости
Пусть ограниченное множество, А- прямоугольник,
-ограниченная функция,
.
Определение. Функция , если . При этом .
Можно показать, что это определение корректное, т.е. не зависит от выбора прямоугольника А.
Отметим, в частности, что по этому определению .
Теорема. ( Достаточное условие интегрируемости по Риману). Если и Е измеримо по Жордану, то функция .
Доказательство. Достаточно доказать следующее включение
.
Пусть , Е измеримо по Жордану, т.е. .
Пусть - точка непрерывности функции , , т.е существует окрестность : .
Отсюда следует, что - точка непрерывности функции .
Пусть , т.е. существует окрестность : . Это также точка непрерывности .
Искомое включение доказано. Теорема доказана.
|
3. Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем
Будем предполагать, что все множества является измеримыми по Жордану.
Отметим следующие свойства интеграла Римана.
1. Если
(линейность интеграла Римана по функциям).
2. Если .
3. Если , то
(линейность интеграла Римана по множествам).
Доказательство.
,
, .
Имеем .
Отсюда .
4. Если .
5. Если , то и
Следует из неравенств .
6. Если , то .
Следует из неравенств
7. Если , ограничена на Е, то
Следует из неравенств
Теорема о среднем. Если Е компактное и связное множество в , , то существует точка : .
Если , то число называется средним значением функции на множестве .
Доказательство. Из непрерывности и компактности вытекает что существуют точки .
Из свойства 6 следует, что . Если
.
По теореме о промежуточных значениях из непрерывности и связности Е следует, что существует точка : .
Теорема доказана.
4. Вычисление двойного интеграла
Применим теорему Фубини к вычислению двойного интеграла по произвольной области.
Пусть , . Такая область называется правильной при проектировании ее на ось Аналогично, область называется правильной при проектировании ее на ось .
С помощью теоремы Фубини сведем вычисление двойного интеграла по правильной области при проектировании на ось к повторному интегралу. Пусть ,
По определению интеграла и теореме Фубини
ЛЕКЦИЯ 4
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!