Выполните с помощью t-критерия Стьюдента оценку статистической значимости коэффициентов уравнения множественной регрессии

В таблице, ниже таблицы Дисперсионного анализа, приведены расчетные показатели t-статистики, необходимые для проверки коэффициентов регрессии.

Вычислите табличное значение t-критерия Стьюдента с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы). Вероятность 0,05, и 13 степеней свободы (16-2-1=13)

Если значение | t _расч |> t_табл , то коэффициенты а₁, а₂ значимы.

Выполните оценку влияния факторов на зависимую переменную по модели

Важную роль при оценке факторов играют коэффициенты регрессионной модели. При этом непосредственно с их помощью нельзя сопоставить факторы по степени их влияния на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной степени колеблемости.

Для устранения таких различий при интерпретации применяются коэффициент эластичности[2] Э_j и b_j -коэффициент[3].

Для каждого коэффициента регрессии вычислите коэффициент эластичности и бета-коэффициент соответственно по формулам:

, где

S_xj – среднеквадратическое отклонение j-го фактора.

Стандартные отклонения вычисляются по формулам:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении отклонение j -го фактора на 1%, но не учитывает степень колеблемости фактора.

Для данной задачи получится по два коэффициента Э_j и b_j

Коэффициент Э₁ – показывает, на сколько процентов увеличится объем реализации при увеличении затрат на рекламу на 1%.

Коэффициент b₁ – показывает, на сколько увеличится объем реализации в тыс.рублей при увеличении затрат на рекламу.

Определите точечные и интервальные прогнозные оценки объема реализации на 2 месяца вперед

Постройте точечные графики для временных рядов Расходы на рекламу и Индекс потребительских расходов и подберитеаппроксимирующие функции с помощью команды Диаграмма->Добавить линию тренда

Задача 3.

Большая сеть супермаркетов желает установить влияние рекламной компании на относительную конкурентоспособность. В 15 странах получены данные о затратах на рекламу относительно главного конкурента (затраты конкурента = 100) и о продажах относительно этого конкурента (продажи конкурента = 100):

Таблица 4.

Страна	Затраты на рекламу	Продажи

1. Определите зависимость между относительными затратами на рекламу и относительными продажами.

2. Постройте график относительных продаж (по оси у) относительных затрат на рекламу (ось х).

3. Выполните регрессионный анализ зависимости относительных продаж от затрат на рекламу.

4. Объясните смысл и значимость коэффициентов регрессии.

5. Определите какими должны быть относительные продажи компании, если фирма обеспечивает уровень затрат на рекламу, соответствующий конкуренту (если относительные затраты на рекламу составили 100).

6. Используя построенную модель, определите, в какой стране получен наилучший и наихудший результат.

Задача 4.

Имеется 20 фирм, по каждой из которых известны данные о затратах на реrламу сервисе и количестве туристов, воспользовавшихся услугами фирмы:

Таблица 5

Фирма	Затраты на рекламу	Количество туристов

1. Постройте диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для переменных Затраты на рекламу и Количество туристов.

2. Постройте уравнение парной регрессии и проверьте качество построенного уравнения.

3. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентам уравнения регрессии

4. Постройте график прогноза количества туристов, если прогнозное значение затрат на рекламу в ближайшем периоде составит 110% от их последнего значения.

Задача 5.

Туристическую фирму интересует связь между числом отпускников, останавливающихся в гостиницах, и расходами на рекламу гостиниц. За сезон была собрана следующая информация

Таблица 6

Гостиница
Реклама, тыс.руб.
Число гостей

1. Постройте модель зависимости количества гостей от затрат на рекламу.

2. Поясните значения параметров уравнения регрессии.

3. Рассчитайте прогнозное значение результатов результата, если прогнозное значение фактора Х составляет 80% от его максимального значения.

4. Постройте график, отобразив прогнозные значения на 2 будущих периода.

5. Определите, в какой гостинице число гостей значительно ниже предсказанного по модели.

Нелинейная регрессия

При изучении зависимости экономических показателей на основе реальных статистических данных, чаще встречаются нелинейные зависимости. Например, затухающие гармонические или негармонические колебания могут характеризовать объемы продаж сезонного товара на этапе ухода с рынка. Зависимости могут быть представлены кусочно-линейной функцией, которая на разных участках области определения может быть задана разными аналитическими выражениями.

Два класса нелинейных процессов:

1. Нелинейные относительно независимых переменных, но линейные по оцениваемым параметрам.

Данный тип регрессии включает уравнения, в которых зависимая переменнаялинейно связана с параметрами:

– Полиномы разных степеней:

y_i=a₀+a₁x_i+ a₂x²_i+…a_kx^k_i+e_i

При оценке параметров регрессий нелинейных по независимым переменным, используется метод замены переменных. Нелинейные независимые переменные заменяются новыми линейными, и нелинейная регрессия сводится к линейной.

– Равносторонняя гипербола

y_i=a+b/x_i+e_i

Для оценки параметров также применяется метод замены переменных (1/х заменяют на переменную z). Равносторонняя гипербола применяется для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов и топлива, выпускаемой продукции. Также примером использования равносторонней гиперболы являются кривые Филлипса[4] и Энгеля[5].

2. Нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примерами таких регрессий являются функции:

– степенная y= ax^b;

– показательная y=ab^x;

^– экспоненциальная y=e^a+bx.

Для приведения таких моделей к линейному виду выполняется логарифмирование или замена переменных.

Например, степенная функция y= ax^b – регрессия, нелинейная по параметрам, но внутренне линейная. Используется при изучении зависимости спроса от цены. Логарифмирование уравнения по основанию приводит его к линейному виду:

ln y= ln a+b ln x

Задание 1.

На основании данных таблицы 1, постройте модель зависимости объема выпускаемой продукции от температуры при технологическом процессе помощью полинома второй степени y_i=a₀+a₁x_i+ a₂x²_i+e_i

Таблица 1

Температура Х (0С)
Объем выпуска продукции Y, шт

Решение

1. Постройте график точечной зависимости объема выпуска продукции от температуры.

2. Введите новую переменную Z (z_i= x²_i ).

Получите двухфакторное уравнение: y_i=a₀+a₁x_i+ a₂z_i +e_i

3. Рассчитайте значения z_i= x²_i

4. Для оценки коэффициентов уравнения выполните команду Сервис->Надстройки-> Пакет анализа ->Регрессия.

5. Запишите уравнение регрессии и оцените коэффициенты

6. Постройте график для полученной модели.

Задание 2.

На основании информации о норме безработицы и темпах инфляции (Таблица 2), постройте:

– Диаграмму рассеяния

– Модель регрессии зависимости темпов инфляции от нормы безработицы[6].

– Отобразите результаты расчетов на графике.

Таблица 2

Темпы инфляции Y		1,1	1,2	1,3	1,7	2,9	2,9	4,2	5,4
Норма безработицы Х	6,5	5,4	5,5	5,0	4,4	3,7	3,7	3,5	3,4

Решение

1. Постройте диаграмму рассеяния для наглядного отображения нелинейной связи между рассматриваемыми переменными.

2. Подберите линию тренда, наилучшим образом соответствующую характеру статистических данных.

3. Расположение исходного набора точек напоминает график обратной пропорциональной зависимости.

4. Рассчитайте значение z_i =1/x_i

5. Рассмотрите модель равносторонней гиперболы y_i=a+b/x_i+e_i, соответствующую линейной связи между переменными Y и Z:

y_i=a₀+a₁z_i +e_I, где z_i=1/x_i

6. Для оценки коэффициентов уравнения выполните команду Сервис->Надстройки-> Пакет анализа ->Регрессия.

7. Запишите уравнение регрессии на основе отчета инструмента Регрессия

8. Постройте график для полученной модели.

Задание 3

По 12 областям информация, характеризующая зависимость потребительских расходов Y душу населения от денежных расходов Х (Таблица 3).

Таблица 3.

Номер области	Расходы, руб. Y	Доходы, руб. Х
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.

1. Постройте степенную модель.

2. Оцените модель, определив индекс корреляции, среднюю относительную ошибку и коэффициент детерминации.

3. Постройте графики для исходных данных и полученной модели

Решение.

1. Уравнение степенной модели имеет вид y= ax^b

Выполните логарифмирование обеих частей уравнения ln y_i= ln a+b ln x_i

Обозначьте YL=ln y, XL= ln a, AL=b ln x

Уравнение примет линейный вид YL=AL+bXL

2. Для оценки коэффициентов уравнения выполните команду Сервис->Надстройки-> Пакет анализа ->Регрессия.

3. Запишите уравнение регрессии на основе протокола инструмента Регрессия

4. Прейдите к исходным переменным X и Y, выполнив потенцирование данного уравнения: y= е^1,0286x^0,679

Значение параметра а = е^1,0286 получите с помощью функции Excel exp(), а =2, 797.

Получите уравнение степенной модели регрессии: y _i = 2, 797x^0,679

5. Из протокола инструмента Регрессия определите:

– Индекс корреляции. Каков уровень связи между переменными X и Y

– Коэффициент детерминации. На сколько процентов вариация результата Y (потребительские расходы), объясняется вариацией фактора Х (денежные доходы)?

6. Постройте график для полученной модели.

 

[1] Мультиколлинеарность – высокая взаимная коррелированность экзогенных переменных, которая приводит к линейной зависимости нормальных уравнений (может возникать, например, если несколько независимых переменных могут иметь общий временной тренд, относительно которого они совершают малые колебания).

Мультиколлинеарность в исходных данных считают установленной, если коэффициент парной корреляции между переменными >0,8.

[2] Эластичность Y по отношению к Xj определяется как процентное изменение Y, отнесенное к соответствующему процентному изменению X. В общем случае эластичности не постоянны, они различаются, если измерены для различных точек на линии регрессии. Высокий уровень эластичности означает сильное влияние независимой переменной на зависимую.

[3] Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднеквадратическое отклоненияS_у изменится зависимая переменная Y, если соответствующая независимая переменнаяX_j изменится на величину своего среднеквадратическое отклонения при фиксированном значении остальных независимых переменных.

 

[4] Кривая Филипса показывает взаимное изменение уровней безработицы и инфляции в экономике (инфляция высока при низкой безработице и низка – при высокой).

[5] Кривая Энгеля показывает величину расходов на товары в зависимости от роста дохода. Закон Энгеля устанавливает, что доля расходов на продовольственные товары по мере роста дохода падает, т.к. продукты питания относятся к необходимым товарам. Кривая Энгеля полена при определении степени влияния на спрос дохода и изменений в относительных ценах.

[6] Норма безработицы – доля безработных в общей численности рабочейсилы.