Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-06-19 | 713 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть имеет в некоторой окрестности точки все частные производные первого порядка , , . Эти частные производные сами являются функциями n переменных в . Тогда они могут иметь частные производные, т.е. в точке можно определить следующие величины
, , (24)
которые называют частными производными второго порядка или вторыми частными производными.
Если , то соотношения (24) задают так называемые смешанные частные производные. Например, для функции двух переменных существует четыре частных производных второго порядка:
.
Пример. Найти все частные производные второго порядка для функции .
Решение. ,
,
,
.
Имеют место следующие две теоремы о равенстве смешанных производных функции .
Теорема 9 (К. Г. Шварц,1848-1921 нем.). Пусть функция в некоторой окрестности точки имеет смешанные производные второго порядка и , причем они непрерывны в точке . Тогда в точке эти частные производные равны между собой
.
Без доказательства.
Теорема 10 (У. Г. Юнг, 1863-1942 англ.). Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и дифференцируемы в этой точке. Тогда вторые смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования
. (25)
Доказательство проведем для случая функции двух переменных . Пусть точка, в которой вычисляются производные. Докажем справедливость равенства . Рассмотрим функцию в окрестности точки , такую что
.
Обозначим
.
Тогда . Так как имеет частные производные первого порядка в , то дифференцируема по , и, следовательно, к можно в окрестности применить формулу конечных приращений Лагранжа.
(26)
.
Так как производные и дифференцируемы в точке , то приращения в квадратных скобках (26) можно также записать по формуле Лагранжа
|
,
где и при , т.е. .
Аналогично, получаем
,
где при .
Подставим это выражение в (26):
,
где .
Аналогично, если представить , где , то можно получить
,
где и .
Тогда, приравнивая , будем иметь:
,
а переходя к пределу при получим (25). <
Теоремы Шварца и Юнга справедливы и при n >2.
Определение 20. Функция называется дважды дифференцируемой в точке, если все первые частные производные дифференцируемы в этой точке.
В общем случае, называют n -раз дифференцируемой, если все ее частные производные (n -1)-го порядка являются дифференцируемыми функциями, а частная производная первого порядка от (n -1)-ой производной называется производной n-го порядка.
Можно показать, что если функция является n раз дифференцируемой, то смешанные частные производные до n -го порядка не зависят от порядка, в котором производится дифференцирование.
Пример. Найти функции .
Определение 21. Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) дважды дифференцируемой в некоторой окрестности точки , функции называют следующий однородный многочлен второй степени относительно переменных
. (27)
В частности, если , то
.
Так как , то выражение для дифференциала второго порядка функции двух переменных принимает вид
.
Пример. Найти дифференциал второго порядка в точке функции
Запишем формулу (27) подробно в точке для функции n -переменных
.
Все производные вычисляются в точке , и все смешанные производные с соответственными индексами равны между собой, т.е. . Следовательно, есть симметричная квадратичная форма относительно n переменных . Матрица этой квадратичной формы, называется матрицей Гессе:
. (28)
Следовательно, можно записать в матричной форме
,
где .
Определение 22. Дифференциалом m-го порядка m раз дифференцируемой функции называется однородный многочлен m -й степени относительно переменных вида
.
Это выражение символически можно записать так
,
где для получения развернутого выражения надо формально возвести выражение в скобках в m -ю степень, как многочлен, считая символы независимыми переменными, а затем к числителю приписать справа . В частности, для функции двух переменных имеем
|
.
Так как , то получаем:
,
где – биномиальные коэффициенты.
Дифференциалы порядка не обладают свойством инвариантности.
Теорема 11 (Тейлор Брук 1685-1731 англ.). Пусть функция определена в некоторой - окрестности точки и (m +1) раз дифференцируема в этой окрестности. Тогда справедлива формула Тейлора
.(29)
Здесь некоторая точка из окрестности , зависящая от , а дифференциалы независимых переменных в каждом слагаемом определяются как .
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!