Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-06-19 | 381 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть функция определена на открытом множестве и . Рассмотрим прямую : , где . Здесь – направляющий вектор прямой (рис.1). В координатном виде уравнения кривой записать следующим образом:
…. .
|
Здесь вектор единичный вектор, проходящий через точку .
Определение 18. Производной по направлению вектора (прямой ) в точке называют предел по множеству .
(18)
Если , то совпадает с направлением оси и производная по направлению совпадает с частной производной .
Запишем (18) подробнее. Так как , , то
.
По теореме о дифференцировании сложной функции имеем
(19)
В частном случае, в пространстве , формула (19) для функции в точке по направлению , формула имеет вид
. (20)
Определение 19. Градиентом дифференцируемой в точке функции называется n – мерный вектор
. (21)
В пространстве формула (21) имеет вид:
На плоскости Oxy:
С помощью символического оператора , который называется оператором Гамильтона, градиент в R 3 также обозначают
Используя понятие градиента можно в векторной форме записать формулу полного приращения функции в точке :
,
а также дифференциал функции
,
и производную функции по направлению
, (22)
где – вектор приращений аргумента, - вектор бесконечно малых.
Свойства градиента:
1. Если вектор градиент функции тождественно равен нулю для любого , то функция постоянна на множестве Х.
2. Если и – дифференцируемые функции в , то справедливы следующие соотношения
а) ;
б) ;
в) ,
где дифференцируемая функция одной переменной .
Справедливость этих свойств следует из определения градиента и свойств векторов.
3. Производная функции по направлению вектора (рис.2) принимает наибольшее значение в направлении и равна модулю , т.е.
|
.
|
Так как , то . <
Таким образом, есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.
4. Пусть дифференцируемая функция, и
()
параметрические уравнения некоторой гладкой кривой Г, удовлетворяющие условию
. (23)
Такая кривая называется линией уровня функции .
Вектор (рис 7.3) является касательным вектором к кривой Г, а – радиусом-вектором точки М .
Продифференцируем (23) по t как сложную функцию:
,
.
|
,
т.е. скалярное произведение двух векторов рано нулю. Это означает, что в каждой точке линии уровня векторы и , т.е. вектор градиент и касательный вектор к кривой ортогональны, или вектор градиент в каждой точке ортогонален линии уровня.
Примеры. 1) Найти наибольшее значение в точке , если .
Решение. Найдем в точке М:
; .
Тогда
2) Найти производную функции в точке по направлению внешней нормали к окружности в точке .
Решение. Производная по направлению вычисляется, как скалярное произведение и вектора направления (внешняя нормаль)
Вычислим в точке М:
,
.
Вычислим вектор в точке М. Для этого в уравнении окружности определим зависимость х и у от параметра : , . Так как точка М принадлежит окружности, получаем
и .
Отсюда . .
Поскольку векторы и ортогональны, то координаты вектора нормали находятся из соотношения
.
Отсюда получаем, , . Нормируем вектор :
,
.
Производная по направлению нормали к окружности в точке М равна
.
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!