П.18) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Дано: ∆АВС,АВ=ВС,ВО–биссектриса. Доказать,что ВО–медиана и высота.

Доказательство: Рассмотрим ∆ABO и ∆CBO. У них:

 

AB = BC (по условию), BO – общая сторона, ∠AВO = ∠СВО (т.к. BO – биссектриса). Значит эти треугольники равны по 1 признаку. Следовательно, AO = OС, а значит BO – медиана.

 

Далее, ∠AOC – развернутый угол = 180°. Но т.к. ∆ABO = ∆CBO, то ∠AOB = ∠COB = 180°/2 = 90⁰, значит BO – высота. Ч.т.д.

 

3. Один из углов прямоугольного треугольника равен60⁰,а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна26,4см. Найдите гипотенузу треугольника.

 

Решение: Пусть в данном треугольнике∠В= 90⁰,∠A = 60⁰.

Тогда ∠С = 180⁰ – 90⁰ – 60⁰ = 30⁰. Меньший из катетов лежит напротив угла в 30⁰ и, значит, равен половине гипотенузы (по 2 свойству). Обозначим

 

гипотенузу АС = х, тогда катет АВ = ½* х. Составляем уравнение: х + ¹₂ х = 26,4 (по условию). Отсюда ³₂ х = 26,4 или х = 17,6. Ответ: гипотенуза АС= 17,6см.

Билет. 15

 

1. (п.29) Во всякой теореме есть2части: условие и заключение. Условие теоремы–это то,что дано,азаключение – то, что требуется доказать.

Например, рассмотрим теорему: Если 3 стороны первого треугольника соответственно равны 3 сторонам второго треугольника, то такие треугольники равны. В ней условием будет утверждение: 3 стороны первого треугольника соответственно равны 3 сторонам второго треугольника (это дано), а

заключение:треугольники равны(это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной,называется такая теорема,в которой условие и заключение меняютсяместами.

Например, для данной выше теоремы обратной теоремой будет: Если треугольники равны, то у них все стороны соответственно равны.

Или для теоремы: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Обратная теорема будет звучать так: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

П.28) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

 

Доказательство:Действительно,пусть а ||с и b ||с.Докажем, что тогда а || b.

Допустим, что прямые а и b не параллельны, т.е. пересекаются в какой-то точке М. Тогда получим, что через точку М проходят 2 прямые (а и b) параллельные прямой с, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предположение было неверным, а значит, прямые а и b параллельны.

3. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямыхсекущей равна 50⁰. Найти эти углы.

Решение: Т.к. а || b, ∠1 +∠2 = 180⁰.Пусть∠1 = х,тогда∠2 = х –50.

Составляем уравнение: х + х – 50 = 180. 2 х = 230, х = 115,

т.е. ∠1 = 115⁰, ∠2 = 55⁰.

 

Билет. 16

1. Как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. Смотри презентацию,

Слайд 9.

2. (п.30) Внешним углом треугольника называется угол,смежный с каким-нибудь углом этоготреугольника.

Свойство: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Дано: ∆АВС,∠4–внешний.

Доказать,что∠4 =∠1 +∠3.

Доказательство: ∠1 + ∠3 + ∠2 = 180⁰ (по теореме о сумме углов ∆).

∠4 + ∠2 = 180⁰ (смежные)

Следовательно, ∠4 = ∠1 + ∠3. Ч.т.д.

 

3. Через середину отрезка проведена прямая.Доказать,что концы отрезка равноудалены от этой прямой. Дано:О–середина АВ, l –прямая,проходящая через О.

Доказать,что АА₁=ВВ₁.

 

Доказательство:АА₁^ l иВВ₁^ l. Рассмотрим прямоугольныетреугольники АОА₁ и ВОВ₁. Они равны по гипотенузе и острому углу (АО = ОВ по условию, ∠1 =∠2, как вертикальные).

 

Следовательно, АА₁ = ВВ₁. Ч.т.д.

 

Билет. 17

 

1. (п.24, 37) Две прямые называются параллельными,если они лежат в одной плоскости и непересекаются. Обозначение: а ǀǀ b.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра,проведенного из этой точки кпрямой.

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной изпараллельных прямых до другой прямой.

2. (п.32) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Дано: ∆АВС,∠С>∠В.

Доказать,что АВ>АС.

Доказательство:Предположим,что это не так.

 

Тогда либо АВ = АС, либо АВ < АС. В первом случае получаем, что ∆АВС

 

– равнобедренный, а значит углы при основании равны, т.е. ∠С=∠В, а это противоречит условию, что ∠С > ∠В. Во втором случае получаем, что ∠С < ∠В (т.к. против большей стороны лежит больший угол). Это тоже противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, и, следовательно, АВ > АС. Ч.т.д.

3. В∆АВС∠А= 40⁰,а∠ВСЕ смежный с∠АСВ равен80⁰.Доказать,что биссектриса∠ВСЕпараллельна прямой АВ.

Дано:∠А= 40⁰,а∠ВСЕ= 80⁰,СК–биссектриса∠ВСЕ.

Доказать,СКǀǀАВ.

 

Доказательство:∠ВСК=∠КСЕ=½∠ВСЕ= 80⁰/2 = 40⁰.

 

Получили, что ∠ВАС = ∠КСЕ = 40⁰, а это соответственные углы при прямых АВ, СК и секущей АС. Раз они равны, то СК ǀǀ АВ. Ч.т.д.

 

Билет. 18

 

1. (п.35) Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1) по двум катетам: Если два катета одногопрямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2) по катету и гипотенузе: Если катет и гипотенуза одногопрямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

3) по гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза иострый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

4) по катету и острому углу: Если катет и острый уголодного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2. (п. 11) Вертикальные углы –это два угла,у которых стороны одного угла являютсяпродолжениями сторон другого.

Теорема: Вертикальные углы равны.
Доказательство:∠1 +∠2 = 1800(смежные),
∠3 + ∠2 = 1800 (смежные),	→ ∠1 = ∠3. Ч.т.д.

 

3. В равнобедренном∆АВС с основанием АС= 37см,внешний угол при вершине В равен60⁰.Найтирасстояние от вершины С до прямой АВ.

Дано:∆АВС–равнобед.,внешний∠НВС= 60⁰,АС=37см,СН^АВ(т.к.это расстояние).

Найти:длину СН.

 

Решение:По свойству внешнего угла∠НВС=∠А+∠С= 60⁰.А т.к.∆АВС – равнобед., то ∠А = ∠С = 60⁰/2 = 30⁰ (углы при основании). В прямоугольном треугольнике АНС, ∠А = 30⁰, значит катет лежащий

 

напротив него равен половине гипотенузы, т.е. СН = ¹₂ АС = 37: 2 =18,5 см. Ответ: СН = 18,5см.

Билет. 19

 

1. Как построить треугольник по трем сторонам. Смотри презентацию, слайд 8. Задача имеет решение только когда выполняется неравенство треугольника, т.е. сумма двух любых сторон должна быть больше третьей стороны.

2. (п.32) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Дано: ∆АВС,АВ>АС.

Доказать,что∠С>∠В

 

Доказательство:Отложим на стороне АВ отрезокAD=АС.Так какAD <АВ,тоточка D лежит между точками А и В. Следовательно, ∠1 является частью ∠С и, значит, ∠C > ∠1. Угол 2 – внешний угол ∆BDC, поэтому ∠2 > ∠В. ∠1 = ∠2 как углы

 

при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠С > ∠1, ∠1 = ∠2, ∠2 > ∠B. Отсюда следует, что ∠С > ∠В. Ч.т.д.

3. Основание равнобедренного треугольника равно8см.Медиана,проведенная к боковой стороне,разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2см больше периметра другого. Найти боковую сторону данного треугольника.

Решение:

 

 

Билет. 20

1. Как построить биссектрису данного угла. Смотри презентацию, слайд 4.