П.18) В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Дано: ∆АВС,АВ=ВС,ВО^АС(высота). Доказать,что ВО–медиана и биссектриса.

Доказательство: Рассмотрим ∆ABO и ∆CBO. У них:

 

AB = BC (по условию), ∠A = ∠С = х (углы при основании в равноб. ∆), ∠AВО = ∠СВО = 90⁰ – х (по теореме о сумме углов в ∆).

 

Значит эти треугольники равны по 2 признаку. Следовательно, AO = OС, а значит BO – медиана.

Далее, ∠AВО = ∠СВО = 90⁰ – х, значит BO – биссектриса. Ч.т.д.

 

3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен120⁰,АС + АВ = 18см. Найти АС и АВ.

Решение:В∆АВС:∠А= 180⁰–120⁰= 60⁰(смежные).

 

∠В = 180⁰ – 90⁰ – 60⁰ = 30⁰ (по теореме о сумме углов в ∆). Следовательно, катет лежащий напротив ∠В равен половине гипотенузы, т.е. АС = ¹₂ АВ или АВ = 2 АС.

По условию АС + АВ = 18см, значит АС + 2АС = 18см. Отсюда 3АС = 18см, АС = 6см. Тогда АВ = 2АС = 2*6 = 12см. Ответ: АС = 6см, ВС = 12см.

 

Билет. 21

1. Как построить середину отрезка. Смотри презентацию, слайд 7.

2. (п.25) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны.

Дано:прямые а и b, с –секущая,односторонние углы∠1 +∠4 = 180⁰.

Доказать,что а || b

Доказательство:∠1 +∠4 = 180⁰(по условию),∠3 +∠4 = 180⁰(смежные),следовательно ∠1 = ∠3, а это накрест лежащие углы, поэтому а || b. Ч.т.д.

 

3. В треугольниках АВС и МКЕ отрезки СО и ЕН медианы,ВС=КЕ,∠В=∠К и∠С=∠Е.Доказать,что∆АСО = ∆МЕН.

Доказательство:По условию:ВС=КЕ,∠В=∠К и∠С=∠Е,значит, ∆АВС = ∆МКЕ (по 2 признаку). Следовательно у этих треугольников равны соответственные стороны и углы, т.е. АВ = МК, а значит и АО = МН, ∠А = ∠М и АС = МЕ. Тогда ∆АСО = ∆МЕН (по 1 признаку).

Билет. 22

 

1. (п. 21) Окружность –геометрическое место точек плоскости,равноудаленных от одной ее точки(центра). Равные отрезки, соединяющие центр с любой точкой окружности, называются радиусами. Любые 2 точки окружности делят её на 2 части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Круг –часть плоскости,лежащая внутри окружности.

 

Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей, а ее отрезок, лежащий внутри окружности, - хордой. Хорда – это отрезок, соединяющий 2 точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, точку О, называется диаметром. Диаметр равен двум радиусам. Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем.

 

2. (п. 34) Свойства прямоугольных треугольников:

1⁰. Сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90⁰.

 

Доказательство:В самом деле,сумма углов треугольника равна180⁰,а т.к.прямой угол= 90⁰,тосумма двух других углов в треугольнике = 90⁰.

 

2⁰. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы.

Доказательство:Пусть в прямоугольном∆АСВ∠В = 30°.Тогда другойего острый угол будет равен 60°. Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ.

 

Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ. Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник – равносторонний. Катет АС равен половине AM, а так как AM равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ. Ч.т.д.

 

3⁰. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30⁰.

 

3. Найти все углы,образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей,если один из нихравен 42⁰.

Решение:Пусть а ǀǀ b, с – секущая,∠1 = 42⁰.Тогда∠3 =∠1 = 42⁰(вертикальные),

∠5 = ∠3 = 42⁰ (накрест лежащие), ∠7 = ∠5 = 42⁰ (вертикальные), ∠8 и ∠7 смежные,

значит ∠8 = 180⁰ – ∠7 = 180⁰ – 42⁰ = 138⁰, ∠6 = ∠8 = 138⁰ (вертикальные),

∠2 = ∠6 = 138⁰ (соответственные), ∠4 = ∠2 = 138⁰ (вертикальные).

 

Билет. 23

1. (п. 24) Две прямые называются параллельными,если они лежат в однойплоскости и не пересекаются. Обозначение: m || n.

 

Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой.

 

Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой. Принято считать, что угол между параллельными прямыми равен нулю. Все перпендикуляры к одной и той же прямой параллельны между собой.

Два отрезка называются параллельными,если они лежат на параллельных прямых.

2. (п.32) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Дано: ∆АВС,∠С>∠В.

Доказать,что АВ>АС.

 

Доказательство:Предположим,что это не так.

Тогда либо АВ = АС, либо АВ < АС. В первом случае получаем, что ∆АВС

 

– равнобедренный, а значит углы при основании равны, т.е. ∠С=∠В, а это противоречит условию, что ∠С > ∠В. Во втором случае получаем, что ∠С < ∠В (т.к. против большей стороны лежит больший угол). Это тоже противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, и, следовательно, АВ > АС. Ч.т.д.

 

3. Найдите углы при основании МР равнобедренного∆МОР,если МК–его биссектриса и∠ОКМ= 96⁰. Решение:∠РКМ=180⁰–96⁰= 84⁰(смежный с∠ОКМ).

Пусть ∠КРМ = х, тогда ∠КМР = 0,5 х, т.к. МК – биссектриса и ∠М = ∠Р (углы при основании в равноб. ∆). По теореме о сумме углов в ∆МКР:

х + 0,5 х + 84⁰= 180⁰.Отсюда, 1,5 х = 96⁰, х = 64⁰.

 

Ответ: углы при основании равны64⁰.

 

Билет. 24

 

1. (п. 14) Треугольник –это геометрическая фигура,состоящая из трех точек,не лежащих на однойпрямой, соединенных отрезками. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его

 

сторонами. Виды треугольников: