Общая теория относительности: локальность, анаморфизм и флюиды в их основе

В специальной теории относительности, как мы уже обсуждали, Эйнштейн возвел галилееву симметрию (инвариантность) до основного принципа – требования, которому должны подчиняться все законы физики. Уравнения Максвелла с самого начала соответствовали этому требованию, а законы движения Ньютона – нет, но Эйнштейн предложил видоизмененную механику, которая ему удовлетворяла. Для тел, которые движутся намного медленнее скорости света, версия Эйнштейна повторяла ответы успешно работающей теории Ньютона.

А вот теорию гравитации Ньютона приспособить к тем же требованиям оказалось гораздо труднее. Она строится вокруг понятия массы, но в специальной теории относительности масса теряет свое тепленькое местечко. В частности, масса не сохраняется. (Если эти понятия вам не знакомы, то прочитайте статьи «Масса» и «Энергия» в разделе «Термины».)

Итак, если вы хотите, чтобы гравитация реагировала на массу, как это делается в теории Ньютона, то вы даете неоднозначные инструкции. Релятивистской теории гравитации потребовались новые основания.

В конце концов Эйнштейн решил эту проблему в своей общей теории относительности, усилив понятие симметрии. Он сделал симметрию – а именно симметрию Галилея – локальной.

Мы сможем лучше понять локальную симметрию, которую мы имеем в общей теории относительности, сравнив ее с глобальной (жесткой) симметрией в специальной теории относительности.

Согласно глобальной галилеевой симметрии или инвариантности, мы можем изменить состояние движения Вселенной, добавив постоянную общую скорость, при этом законы физики не изменятся. Но если мы изменим относительное движение различных частей Вселенной, прикладывая скорости, которые меняются в пространстве или времени, мы должны ожидать изменений в законах физики. Если вы машете магнитом вблизи стрелки компаса, стрелка двигается!

Локальная галилеева симметрия или инвариантность постулирует, что есть намного более широкий класс преобразований, которые оставляют законы физики неизменными. А именно: она гласит, что мы можем выбрать добавленную скорость так, что она будет разной в разное время и в разных местах. Это утверждение должно звучать возмутительно, поскольку только что мы сказали, что как раз оно и не работает!

Но есть способ заставить его работать, расширив теорию. После многих попыток описать основную идею доступным образом, предпринятых в разных случаях в течение нескольких лет, я нашел один способ, который мне нравится. Не случайно он основывается на том, о чем мы размышляли ранее, и черпает идеи в искусстве.

Мы использовали художественную перспективу как наш прототип симметрии. Вы можете посмотреть на одну и ту же сцену из разных мест и таким образом получить разные перспективы. Изображения этой сцены могут и будут отличаться во многих деталях, но все они останутся изображениями одного и того же. Изменение перспективы без изменения сцены – это блестящий пример симметрии.

В той же манере мы можем смотреть на мир с разных «перспектив», придавая ему постоянную скорость или, что равнозначно, глядя на него с движущейся платформы. Когда мы делаем так, многие вещи начинают выглядеть по-другому, но – согласно специальной теории относительности – те же самые законы физики остаются в силе. В таком смысле это будет все еще изображение того же самого мира.

Теперь давайте представим более общие способы взглянуть на сцену помимо смены перспективы. Это приведет нас в царство анаморфного искусства, прекрасно показанного на вклейке ЕЕ. В нем используются линзы, кривые зеркала и другие приспособления, чтобы создать изображения, которые искажаются интересными, упорядоченными способами. Диапазон изображений, которые могут представлять данную сцену, значительно расширяется и включает некоторые очень искаженные виды.

Если говорить более «физически», то мы можем представить, что смотрим на мир через прозрачный, но преломляющий свет материал – скажем, воду. Мы даже можем представить себе, что вода может быть в некоторых местах плотнее, чем в других, и поэтому угол преломления в разных местах отличается. (Такое трудно сделать с настоящей водой, но для нас это несущественно.) В подобной ситуации изображения, которые мы увидим в различных местах, могут быть искажены и на самом деле выглядеть очень разными. Возможно, нам будет трудно их истолковать.

Если мы не поймем, что таким эффектом мы обязаны воде, у нас будет искушение думать, что эти изображения соответствуют разным сценам. Но если мы знаем о воде и учитываем ее воздействие, мы можем принимать гораздо больше возможных изображений как состоятельные представления нашей сцены. Мы можем распределять воду различными способами, например, чтобы сымитировать эффект зеркал в комнате смеха. Мы даже можем привести нашу воду в движение, чтобы наши изображения могли также меняться во времени. Коротко говоря, вообразив себе заполняющую пространство жидкость, или флюид, и учитывая производимые ею эффекты, мы можем рассматривать широкий диапазон трансформированных изображений как представления одной и той же сцены, рассматриваемой через различные состояния жидкости.

Подобным образом, введя материал подходящего сорта в пространство-время, Эйнштейн смог позволить тем искажениям физических законов, которые возникают при преобразованиях Галилея, меняющихся в пространстве и во времени, происходить в результате модификаций этого нового материала. Последний называется метрическим полем, или, как я предпочитаю говорить, метрическим флюидом. Расширенная система, состоящая из исходного мира и гипотетического нового материала, подчиняется законам, которые остаются теми же самыми даже тогда, когда мы вводим переменные изменения скорости, хотя состояние метрического флюида при этом меняется. Другими словами, уравнения для расширенной системы могут поддерживать нашу огромную, «невероятную» локальную симметрию.

Можно было бы ожидать, что системы уравнений, которые поддерживают такое огромное количество симметрий, очень специфичны и их трудно получить. Новая субстанция должна иметь вполне определенные характеристики. Уравнения с такой огромной симметрией – это аналоги платоновых тел или, лучше сказать, сфер среди уравнений!

Когда Эйнштейн разработал эти уравнения, обогатив мир новой субстанцией, он обнаружил, что получил заодно и свою долгожданную теорию тяготения. Уравнения показывали, что метрический флюид, который он ввел, чтобы позволить существовать локальной галилеевой симметрии, «прогибается» в присутствии вещества и, в свою очередь, влияет на то, как вещество движется. Таким образом, метрический флюид в конечном итоге играет ту же роль для тяготения, как электромагнитный флюид Максвелла для электромагнетизма. Его элементарные возбуждения, или кванты, мы называем гравитонами по аналогии с фотонами в электромагнетизме.

В этом построении роль симметрии как управляющего миром принципа была поднята на новый уровень. Симметрия стала созидательной. Допущение локальной симметрии продиктовало детальную структуру богатой и сложной теории тяготения, которая успешно описывает Природу. Чтобы добиться успеха с локальной симметрией, нужно ввести понятие метрического флюида и следующие из него гравитоны.

Я должен добавить, что такой подход к общей теории относительности, который помещает локальную симметрию в центр Мироздания, в чем-то неортодоксален. Обычно обращаются к другим концепциям, дающим другие поводы для введения метрического флюида. Но локальная симметрия – это сама суть проблемы, и такой минималистский подход отлично нам служит, когда мы переходим к созданию теорий других сил.

Эйнштейн, говоря о своей теории, пользовался другой терминологией. Какая-то часть ее содержит следы его личных периодов «блужданий во тьме» и кажется двусмысленной или запутанной, по крайней мере мне. Но в основном его понятие общей ковариантности соответствует нашей локальной галилеевой симметрии. Подводя итоги нашего обсуждения в одном предложении, мне кажется подходящим воздать честь его выбору:

Гравитоны – это олицетворение общей ковариантности.