Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-06-12 | 301 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение 5. Пусть функция определена на промежутке и интегрируема по Риману на любом отрезке . Если существует (конечный) предел
,
то его называют несобственным интегралом (первого рода) и обозначают
. (31)
Таким образом
.
В этом случае говорят также, что несобственный интеграл (31) сходится на промежутке , а функция называется интегрируемой (в несобственном смысле) на промежутке . Если же предел не существует, то говорят, что интеграл расходится.
Замечания. 1)Если , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно, т.к. и существуют одновременно.
2) Если имеет первообразную на промежутке , то
3) Очевидно, что для несобственных интегралов выполняется свойство линейности: если интегралы (31) для и существуют, то
4) Аналогично определяются несобственные интегралы
.
Поэтому дальше будем рассматривать только интеграл (31).
Примеры. 1) , т. е. данный интеграл сходится.
2) , но предел функции при не существует, следовательно, интеграл расходится.
3) ; интеграл расходится, так как
.
4) Исследовать сходимость интеграла , если – некоторое число.
а) Если α≠1, то для любого
б) Если , то для любого
.
Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при .
Теорема 29 (критерий Коши).Для того чтобы несобственный интеграл (31) был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
.
□ Сходимость интеграла существованию конечного предела . Но в силу критерия Коши для функции при для существования предела необходимо и достаточно, чтобы
Тогда последнее неравенство можно переписать в виде:
■ Теорема 30 (признак сравнения). Пусть
а) и определены на , интегрируемы на ;
б) при ;
в) несобственный интеграл – сходится. Тогда сходится и .
|
Поскольку сходится, то по теореме 29 выполняется критерий Коши: .Теперь проверим критерий Коши для функции : . Критерий Коши выполняется и, следовательно, интеграл сходится. ■
Определение 6. Несобственный интеграл (31) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
(32)
Если интеграл (31) сходится, а (32) расходится, то говорят, что интеграл (31) сходится условно. Из теоремы ясно, что если (31) абсолютно сходится, то и просто сходится.
Теорема 31 ( основной критерий сходимости ). Пусть при , тогда для сходимости интеграла (31) необходимо и достаточно, чтобы
. (33)
Функция не убывает при , т.к. . Поэтому, для сходимости интеграла (31), т.е. для существования предела, необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена сверху:
при ■
Теорема 32 ( признак Дирихле).Пусть выполняются следующие условия:
а) функция интегрируема по Риману на любом отрезке
б) ;
в) функция при непрерывно дифференцируема и монотонно убывает, стремясь к нулю при .
Тогда – сходится.
Рассмотрим . По условию теоремы функция ограничена , т.е. (из условия (а)). Заметим, что . По формуле интегрирования по частям, имеем:
(34)
Рассмотрим интеграл в правой части и оценим, учитывая, что по условию (в) монотонно убывает, следовательно .
Из теоремы 28 несобственный интеграл сходится абсолютно, а значит и просто сходится. Следовательно, существует конечный предел . Т.к. и при , то .
Следовательно, в правой части (34) существуют пределы всех слагаемых. ■
Примеры. Заметим, что в примерах 1-4 вычисление несобственного интеграла было основано на его определении, однако часто достаточно только исследования сходимости интеграла. Для этого как раз и используются доказанные теоремы.
5)Исследовать сходимость .
Решение. Сравним подынтегральную функцию с функцией на промежутке . Очевидно, что
.
Но интеграл сходится, так как . Следовательно, согласно
признаку сравнения сходится и данный интеграл.
|
6)Исследовать сходимость .
Решение. Сравнивая подынтегральную функцию , с функцией на промежутке , имеем:
.
Но интеграл расходится, так как (пример 40). Следовательно, согласно признаку сравнения и данный интеграл расходится.
7)Интеграл по признаку Дирихле сходится, поскольку:
а) функция интегрируема на любом отрезке,
б) ,
в) функция непрерывно дифференцируемая и монотонно убывает при .
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!