Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-06-12 | 470 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема 24(вычисление площади области в декартовойсистеме координат). Если f (x) определена, непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a, b ], то площадь множества выражается формулой:
. (16)
Множество Р называется криволинейной трапецией, порожденной графиком функции f (x) на [ a, b ].
□ Пусть некоторое разбиение [ a, b ]. Обозначим
∆ xi = xi - xi -1; ∆ i =[ xi -1, xi ]; h (T)= ; (i =1,2… n).
Также обозначим через p (T) и P (T) – множества, составленные из прямоугольников
; ; (17)
; . (18)
Рис.2
Поскольку , для любого разбиения T имеют место неравенства
. (19)
Из (17) и (18) получим, что .
Отсюда, т.к. прямоугольники и не имеют общих внутренних точек, следует что
;
.
Следовательно, площади многоугольников p (T) и P (T) равны соответственно нижней и верхним суммам Дарбу функции f (x) на [ a, b ]. Поэтому из (19) следует, что . Но, т.к. f (x) непрерывна на [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке, следовательно
.
По критерию интегрируемости верхний и нижний интеграл Дарбу совпадают и равны интегралу от f (x) по [ a, b ] (см. замечание к критерию интегрируемости). Переходя к пределу при h (T)→0 в неравенствах (19), получим
.
Следствие 1. Если функция f (x) непрерывная и неположительная на отрезке [ a, b ] и P ={(x, y): a ≤ x ≤ b, f (x)≤ y ≤0}, то
. (20)
□ Положим . Тогда множество P * симметрично множеству P относительно оси Ox. Тогда в силу (16):
Рис.3
.
Но μ(P*)=μ(P), тогда справедлива формула (20). ■ Следствие 2. Формулы (16) и (20) можно объединить в одну формулу. Если f (x) непрерывна и знакопеременна на [ a, b ], то площадь множества, заключенного между графиком функции и осью OX равна:
.
Примеры. 1) Вычислить площадь, образованную одной аркой синусоиды.
Решение. Область имеет вид (рис.4)
Рис.4
|
.
2)Вычислить площадь множества, ограниченного эллипсом.
Рис.5
Решение. Из канонического уравнения эллипса имеем:
Тогда площадь будет равна:
Следствие 3. Если функции f (x) и g (x) определены и непрерывны на [ a, b ], причем f (x)≥ g (x) x [ a, b ], то площадь области P, заключенной между графиками функций f (x), g (x) и прямыми x = a, x = b, равна:
. (21)
Рис.6
□ Пусть сначала f (x)≥ g (x); f (x)≥0 и g (x)≥0. По теореме, площадь множества Р равна разности площадей криволинейных трапеций, порожденных графиками f (x) и g (x)
.
Отсюда, учитывая линейное свойство интегралов, получается формула (21). Теперь пусть f (x) и g (x) имеют произвольные знаки на [ a, b ], но f (x)≤ g (x) x [ a, b ]. Пусть число . Сделаем замену: y ’= y + A.
Рис. 7
В системе координат (x, y ’) площадь фигуры ограниченную функциями f (x)+ A и g (x)+ A назовем P ’. Ясно, что P ’= P. Вычислим μ(Р ’) в (x, y ’), учитывая, что f (x)+ A ≥0 и g (x)+ A ≥0, по формуле (21) имеем:
.
Но, т.к. μ(P) = , то . ■
Пример. Найти площадь области, ограниченной кривыми y = x и y = x 2-2.
Решение. Найдем точки пересечения кривых.
Рис.8
Приравнивая ординаты, получим: x 2-2= x Тогда площадь будет равна
.
Теорема 25 (вычисление площади множества в полярной системе координат). Если функция определена и непрерывна на отрезке [α,β], то площадь множества P ={( φ,): α≤φ≤β, }, граница которой в полярной системе координат задана графиком r (φ) и лучами φ=α и φ=β (которые могут превращаться в точки) определяется по формуле:
(22)
□ Возьмем разбиение отрезка [α,β], где φ0=α, φn=β, и положим
∆ φ i= φi - φi-1, ∆ i= [ φi-1, φi ], , , и h (T)= .
Выберем произвольные точки . Тогда pi (T)={(φ, ): φ i -1≤φ≤φ i, 0≤ ≤ mi } и Pi (T)={(φ, r): φ i -1≤φ≤φ i, 0≤ ≤ Mi } круговые секторы с углом ∆φ i, i =1,2…. n и радиусами mi и Mi.
Рис.9
Обозначим ступенчатые фигуры, составленные из секторов pi (T) и Pi (T), соответственно вписанные в P и описанные около множества Т. Тогда
p (T) P P (T) => μ(p(T))≤μ(P) ≤μ(P(T)).
|
По формуле для площади сектора имеем:
Поэтому
Здесь s (T) и S (T) – суммы Дарбу для функции . Тогда выполняется неравенство
, (23)
где - интегральная сумма для функции на отрезке . Так как функция непрерывна на , то тоже непрерывна и интегрируема на отрезке [ a, b ], а следовательно, выполняется критерий
.
Переходя в (23) к пределу при , по теореме сравнения получим, что справедлива формула (22). ■
Пример. Найти площадь множества Р, ограниченного кривой , которая называется кардиоидой.
.
Теорема 26 (вычисление площади множества, ограниченного кривой, заданной параметрически). Площадь множества, ограниченного простой гладкой замкнутой кривой , заданной параметрическими уравнениями
причем , определяется по формуле
(24)
Рис.10.
□ Для доказательства воспользуемся формулой (22). Рассмотрим полярную систему координат. Пусть А и С крайние точки , соответствующие полярным координатам и , причем точке А соответствует значение параметра начало кривой Г, а значение - соответствуют точке В – конец замкнутой кривой Г. Пусть соответствуют точке С. Из параметрических уравнений кривой Г и уравнений полярных координат в декартовой системе координат имеем
Площадь в полярной системе координат равна разности площадей двух криволинейных секторов и . По формуле (22), предполагая, что , получим
В силу. ■
Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом пользуясь формулой (24).
Решение. Запишемуравнение эллипса в параметрическом виде:
.
Тогда по формуле (24) имеем:
Вычисление длины кривой. Пусть Г – кривая на плоскости или в пространстве, заданная непрерывно дифференцируемой векторной функцией , т.е.
По определению, длиной кривой называется верхняя грань длин всевозможных ломанных вписанных в эту кривую, т.е. и, если , то кривая называется спрямляемой, и имеет конечную длину. Переменная длина дуги кривой , отсчитываемая от начала кривой Г, является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра t и ее производная равна
.
Тогда длина кривой Г будет равна
.
По формуле Ньютона-Лейбница имеем
.
а) Если Г пространственная кривая, то
.
б) Если Г – плоская кривая, заданная параметрически уравнениями
,
то (25)
в) Если Г кривая является графиком функции y=f(x) на , то параметризуя ее уравнение , из (25) будем иметь:
|
(26)
г) Пусть кривая Г задана в полярной системе координат уравнением , причем функции непрерывны на . Уравнение кривой можно параметризовать, используя связь декартовой системы координат и полярной, приняв за параметр угол :
Подставим в (25) и, после преобразований, получим
(27)
Примеры. 1) Вычислить длину дуги верхней ветви полукубической параболы , если .
Решение. Из уравнения находим: Следовательно, по формуле (26) получим
2) Вычислить длину дуги одной арки циклоиды .
Решение. Из уравнений циклоиды находим:
Когда переменная изменяется на отрезке то параметр принимает значения на отрезке . Следовательно, искомая длина дуги будет равна:
3) Вычислить длину первого витка спирали Архимеда: .
Решение. Первый виток спирали образуется при изменении полярного угла от 0 до . Поэтому по формуле (26) искомая длина дуги равна
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!