Представление дифференциальных операций векторного анализа в декартовой системе координат

Декартова система координат является наиболее распространенной для описания движения жидкости в трехмерном пространстве.

Рассмотрим представление всех рассмотренных понятий и операций в декартовой системе координат, обращая главное внимание лишь на физическое содержание векторных операций и правила их использования и не ставя перед собой задачу строгого доказательства тех или иных положений.

С учетом этого сразу можем написать

1. (3.31)

Таким образом, проекции вектора набла на оси прямоугольной декартовой системы координат есть операторы (производные) . Поэтому умножить проекцию вектора набла

Примечание:

5. скалярные операторы ²…

6. ( )…

будучи примененными к скалярной функции , дадут зависимости:

Если есть вектор, то, представляя его тремя скалярными функциями _x; _y; _z (проекции на оси координат) для ² и ( ) получим по три формулы, аналогичные приведенным (выше).

Например:

на проекцию какого-либо другого вектора – это значит продифференцировать ее по соответствующей координате.

Учитывая это и применяя правило действия над векторами, получаем:

2. (3.32)

3. (3.33)

4. (3.34)

5. (3.35)

6. (3.36)

3.4.1. Примеры, имеющие самостоятельное значение

1. Положение точки или частицы жидкости в декартовой системе координат характеризуется радиус-вектором

С помощью этого вектора распределене скоростей в пространстве дается соотношением , что эквивалентно трем скалярным уравнениям:

Приращение вектора - величина d (расстояние между двумя близкими точками) определяется равенством:

а скорость движения некоторой частицы представляется очевидным соотношением

где D – символ субстационарной производной.

Умножим элементарный вектор d на градиент некоторой скалярной функции φ:

Замечаем, что правая часть этого равенства представляет собой полный дифференциал скалярной функции φ.

Т.о. имеем важную формулу:

(3.37)

2. Составим скалярное произведение единичного вектора и grad φ:

(здесь единичный вектор в проекциях на оси координат представляется равенством:

)

Найдем производную от φ по направлению

т.к.

то

Замечание:

Из формулы (3.38) видно, что производная достигает своего наибольшего значения для направления , совпадающего с направлением grad φ, при этом ее наибольшее значение равно величине grad φ. Поэтому градиент скалярной функции можем определять как вектор, имеющий направление быстрейшего роста скалярной величины φ и равный производной от нее по этому направлению.

Именно поэтому, например, результирующая сила давления равна – grad P, т.к. она должна быть направлена в сторону быстрейшего падения давления, а результирующий тепловой поток – в сторону наибольшего уменьшения температуры, т.е. в сторону – grad T, как это следует из закона Фурье.

Замечание к разделу:

Координатное представление вектора набла позволяет во многих случаях упрощать формулы, записанные в символическом виде, и, таким образом, является существенным дополнением к нему.

Пример:

Найдем выражение для , где - постоянный вектор:

Далее, из соотношений сделанных при выводе формулы (3.28), получаем

В этом выражении последующие преобразования невозможны.

Но, если обратиться к координатному представлению рассмотренных нами операций, сразу замечаем, что величина оказывается равной

т.о.

rot = 0, т.к. производные от одних независимых переменных по другим тождественно равны нулю (см. 3.34).

Кроме того:

т.о. получим простое соотношение:

Казалось бы, что этот пример наталкивает на мысль, что символический метод совершенно не нужен, т.к. непосредственным вычислением в координатном представлении можно получить все необходимые преобразования.

Это действительно так, однако если попытаться вывести такие простые зависимости, как:

опираясь лишь на координатное выражение оператора Гамильтона, можно сразу оценить существенную экономию труда и бумаги, а также элегантность операций, которые сопутствуют символическому методу исчисления.

3.5. Преобразование объемных интегралов в поверхностные

Приведем без доказательства формулы Гаусса и Остроградского, известные из курса математического анализа, в символах векторного анализа.

Формула Гаусса:

(3.39)

Формула Остроградского:

(3.40)

Дифференциальные тензоры

Составим диадное произведение вектора набла и какого-нибудь переменного вектора, например .

Помня, что умножить на составляющую символического вектора - это значит продифференцировать по соответствующей координате, находим:

(3.44)

Этот тензор по аналогии с градиентом скалярной величины (см. формулу 3.33) назовем градиентом вектора:

(3.42)

Его составляющие легко выявляются, если рассмотреть диадные произведения ортов на скалярные производные от вектора в равенстве (3.41), и записываются в виде матрицы:

Примечание:

Свойство сопряженного тензора:

Величина произведения вектора на тензор, не изменится, если при перестановке сомножителей тензор заменить на сопряженный.

(3.43)

Умножим тензор grad на дифференциал радиус вектора слева:

(3.44)

Полученное соотношение совершенно аналогично (3.37) полному дифференциалу скалярной функции. Т.е. имеем:

(3.44а)

Если в тензоре (3.43) заменить элементы строк на элементы столбцов, то получим сопряженный тензор:

(3.45)

Если в другой записи (с учетом (3.6) и (3.7)):

(3.46)

но по свойству сопряженного тензора равенство (3.44а) можно переписать в следующем виде:

(3.47)

Следовательно, тензор ( ∙ )* можно рассматривать как производную от векторной функции по векторному аргументу .