Ламинарное течение вязкой жидкости в круглых трубах. Формула Пуазейля

Рассмотрим стационарный поток жидкости через трубу, радиусом R. В этом потоке выделим объем - коаксиальный цилиндр, радиуса r. Вследствие симметрии задачи, ясно, что частицы жидкости, равноудаленные от оси трубы, будут иметь одинаковую скорость. Для получения зависимости скорости течения жидкости по поперечному сечению трубы, воспользуемся условием стационарности. Жидкость движется с постоянной скоростью, следовательно, без ускорения, следовательно, сумма сил, приложенных к выделенному объему равна нулю. На выделенный объем действуют силы давления и силы трения: Fдавл=F1-F2=P1·S-P2·S=(P1-P2)·Sосн=(P1-P2)·π·r2 Fтр=η·Sбок·dv/dr=2η·π·r·L·dv/dr Из условия стационарности следует: Fдавл=Fтр → (P1-P2)·π·r2=-2η·π·r·L·dv/dr (т.к dv/dr<0) Преобразуем полученное уравнение: dv=(P1-P2)·r·dr/2η·L → dv=[(P1-P2)/2η·L] · r · dr т.к. при r=R → v=0. Окончательно получим: V=(P1-P2) · (R2-r2) / 4η·L Это парабола. При r=R → v=0. При r=0 → V=Vmax=(P1-P2) / 4η·L теперь выражение для объема жидкости Q, протекающей через поперечное сечение трубы за одну секунду. За одну секунду, выделенный слой переносит объем жидкости, равный: dQ=V·dS=V·2·π·r·dr, где dS - площадь заштрихованного кольца. Подставим сюда полученное ранее выражение для скорости: dQ=(P1-P2) · (R2-r2) · 2 π·r·dr/ 4η·L Проинтегрируем получившееся уравнение:   Окончательно получим: Q=π·r4 · (P1-P2) / 8η·L (1.70) Это и есть формула Пуазейля (1799 – 1869), которая описывает объемный расход жидкости через круглую трубу, при ламинарном течении.

Вопрос №16

Все течения жидкости и газа качественно разделяются на 2 режима – ламинарный и турбулентный.

Ламинарное течение (lamina – пластинка, полоска) – это упорядоченное плавное течение жидкости, при котором жидкость перемещается как бы слоями, параллельными направлению течения (например – стенкам цилиндрической трубы), не перемешиваясь. Эти течения наблюдаются или у очень вязких жидкостей, или при малых скоростях течения, а также при течениях в узких трубках или при обтекании тел малых размеров.

Вообще тот или иной режим течения характеризуется числом Рейнольдса , где V – характерная скорость течения, l – характерный линейный размер, – кинематический коэффициент вязкости; Re – безразмерный параметр.

Для каждого вида течения существует такое критическое число Рейнольдса, что при Re<Reкр возможно только ламинарное течение, в то время как при Re>Reкр течение может потерять устойчивость по отношению к малым возмущениям (случайным отклонениям) исходных параметров и стать турбулентным (например, для течения жидкости в цилиндрической трубе круглого поперечного сечения диаметром d Re = V ср d /Ѕ – Reкр H 2300).

При турбулентном течении (turbulentus – беспорядочный, вихревой) частицы жидкости совершают неустановившиеся движения по сложным траекториям, что приводит к интенсивному перемешиванию между слоями жидкости, т.е. слоистая структура течения нарушается; при этом местные значения параметров движения – V, p, T,… испытывают хаотические флуктуации, т.е. случайные отклонения от средних значений, и изменяются нерегулярно во времени и пространстве.

Число, или, правильнее, критерий Рейно́льдса (), — безразмерная величина, характеризующая отношение нелинейного и диссипативного членов в уравнении Навье — Стокса[1]. Число Рейнольдса также считается критерием подобия течения вязкой жидкости.

Число Рейнольдса определяется следующим соотношением:

 

где

· — плотность среды, кг/м³;

· — характерная скорость, м/с;

· — гидравлический диаметр, м;

· — динамическая вязкость среды, Н·с/м²;

· — кинематическая вязкость среды, м²/с();

· — объёмная скорость потока;

· — площадь сечения трубы.

Вопрос №17

Гидравлические потери

Гидравлические потери или гидравлическое сопротивление — безвозвратные потери удельной энергии (переход её в теплоту) на участках гидравлических систем (систем гидропривода, трубопроводах, другом гидрооборудовании), обусловленные наличием вязкоготрения[1][2]. Хотя потеря полной энергии — существенно положительная величина, разность полных энергий на концах участка течения может быть и отрицательной (например, при эжекционном эффекте).

Гидравлические потери принято разделять на два вида:

· потери на трение по длине — возникают при равномерном течении, в чистом виде — в прямых трубах постоянного сечения, они пропорциональны длине трубы;

· местные гидравлические потери — обусловлены т. н. местными гидравлическими сопротивлениями — изменениями формы и размера канала, деформирующими поток. Примером местных потерь могут служить: внезапное расширение трубы, внезапное сужение трубы, поворот, клапан и т. п.

Гидравлические потери выражают либо в потерях напора в линейных единицах столба среды, либо в единицах давления : , где — плотность среды, g — ускорение свободного падения.

Коэффициенты потерь

Основная статья: Формула Дарси — Вейсбаха

 

Во многих случаях приближённо можно считать, что потери энергии при протекании жидкости[3] через элемент гидравлической системы пропорциональны квадрату скорости жидкости[2]. По этой причине удобно бывает характеризовать сопротивление безразмерной величиной ζ[4], которая называется коэффициент потерь или коэффициент местного сопротивления и такова, что

 

То есть в предположении, что скорость w по всему сечению потока одинакова, ζ=Δ p / e _торм, где e _торм = ρ w ²/2 — энергия торможения единицы объёма потока относительно канала. Реально в потоке скорость жидкости не равномерна, в справочной литературе в данных формулах принимается среднерасходная скорость w = Q / F, где Q — объёмный расход, F — площадь сечения, для которого рассчитывается скорость[1]. Таким образом, средняя энергия торможения потока обычно несколько больше ρ w ²/2, см. Среднее квадратическое.

Для линейных потерь обычно пользуются коэффициентом потерь на трение по длине (также коэффициент Дарси) λ, фигурирующего в формуле Дарси — Вейсбаха[2]

 

,

где L - длина элемента, d - характерный размер сечения (для круглых труб это диаметр). Иначе в единицах давления

;

таким образом, для линейного элемента относительной длины L / d коэффициент сопротивления трения ζ_тр=λ L / d.

Влияние режима течения в трубах на гидравлические потери

Поскольку при турбулентном режиме течения происходит расход энергии потока на преодоление вязкости при турбулентных колебаниях, гидравлические потери при ламинарном режиме течения жидкости значительно меньше, чем при турбулентном. Так, например, если бы в системах водоснабжения и отопления при существующих скоростях движения жидкостей возможно было бы поддерживать ламинарный режим течения, то напор насосов можно было бы уменьшить в 5—10 раз[источник не указан 300 дней]. Изменение режима течения с ламинарного на турбулентный вызывает скачкообразное увеличение сопротивления (при некоторых скоростях, т.е. в некотором диапазоне чисел Рейнольдса, ламинарное течение неустойчиво, но в определённых условиях может существовать). В то же время коэффициент гидравлического сопротивления при ламинарном режиме обычно получается больше, чем при турбулентном, поскольку для ламинарных режимов характерны более низкие скорости. При ламинарном режиме сопротивление примерно линейно зависит от скорости (соответственно, коэффициент примерно линейно падает, например, в круглых трубах ). При турбулентном режиме в гидравлически гладких трубах (при небольших шероховатостях и небольших Re) зависимость имеет иной характер (для круглых труб ) и во всех практически реализуемых случаях лежит выше зависимости для ламинарного режима; при бо́льших числах Рейнольдса под влиянием шероховатости график λ претерпевает сложный изгиб, и начиная с некоторого критического значения при Re>Re_кр (область автомодельности) λ зависит только от шероховатости.

Вопрос №18

Электрический диполь

Электрическое поле, образующееся системами из нескольких положительных и отрицательных зарядов, имеет определённые специфические особенности. Простейшая из таких систем - электрический диполь - два равных по величине и противоположных по знаку электрических заряда, расположенные на некотором расстоянии друг от друга, называемом плечом диполя.

Многие атомы и молекулы представляют собой электрические диполи. Например, молекула. У неё избыток отрицательного заряда около кислородного атома и положительного - около водородных атомов.Молекула, в которой центры отрицательного и положительного заряда ядер не совпадают, является электрическим диполем.
Характеристики диполя. Дипольный момент P^→: если l^→- векторное расстояние из -q, чтобы +q, тогда дипольный момент P^→ определяется по формуле:

 

 

Дипольный момент является векторной величиной, поскольку он имеет направление.

1) Если диполь помещён в однородное электрическое поле напряжённостью, то на положительный заряд будет действовать сила q·E^→, а на отрицательный заряд сила - (-q·E^→). Их сумма равна нулю, поэтому общая сила, действующая на электрический диполь в однородном электрическом поле, тоже равна нулю. Тем не менее, общий вращающий момент на диполь не будет равным нулю, поскольку эти силы противоположно направлены (Рис.1). Они стремятся повернуть диполь так, чтобы электрическая ось диполя совпала с направлением силовых линий поля.

Величина вращающего момента M^→ зависит от напряжённости поля E^→, дипольного момента и угла P^→ между их векторами:

Вопрос №19

Многие органы полностью или частично состоят из возбудимых клеток. Возбуждение этих клеток является причиной возникновения электрического поля в организме. Исследование этого поля имеет большое значение в клинической и теоретической медицине. Электрические поля различных органов достаточно подробно изучены, и существует ряд методов исследования, основанных на регистрации электрических полей определенных органов: электрокардиография (сердце), электромиография (мышцы), электроэнцефалография (мозг), электронейрография (нервные волокна), электрогастрография (желудок) и т.п. Основой электрографии органов и тканей являются некоторые понятия электростатики и электродинамики.

Проводники и изоляторы

Большинство веществ в природе по электропроводности можно разделить на проводники и изоляторы. Проводник - это вещество, в котором есть некоторое число сравнительно свободных зарядов, способных перемещаться под действием электрического поля (металлы, растворы электролитов). В изоляторе (бумага, стекло) все заряды сравнительно неподвижны.

Проводники имеют важную особенность - отсутствие разности потенциалов в объекте, если заряды не движутся. Следовательно, электрический потенциал при этом одинаковый во всех точках.

Биологические ткани довольно разнородны по электропроводности. Электрическое сопротивление мембран клетки достаточно велико. Они подобны изоляторам. Наоборот, внутриклеточная жидкость является проводником 2 рода, благодаря наличию в ней положительных и отрицательных ионов.

+вопрос №18

Вопрос №20