Синтез комбинированных цепей. Диаграмма Вейча

Операции и теоремы Булевой алгебры

Основными операциями булевой алгебры являются операции логического сложения, умножения и отрицания.

Логическое сложение. Операция ИЛИ или дизъюнкцией. Она

соответствует математической операции объединения множеств.

Логическое умножение. Операция И или конъюнкцией. Она

соответствует математической операции пересечения множеств.

Отрицание. Инверсия или дополнение. Для ее обозначения используют черту над соответствующим выражением. Операция определяется постулатами:

Теоремы булевой алгебры отражают связи, существующие между операциями, выполняемыми над логическими переменными.

 

Логические элементы. Обозначение. Логические операции. Таблица истинности.

В соответствии с перечнем логических операций различают три

основных логических элемента (ЛЭ): И, ИЛИ, НЕ.

Логический элемент «И» - конъюнкция, логическое умножение, AND

 

«И» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию конъюнкции или логического умножения. Данный элемент может иметь от 2 до 8 (наиболее распространены в производстве элементы «И» с 2, 3, 4 и 8 входами) входов и один выход.

 

Логический элемент «ИЛИ» - дизъюнкция, логическое сложение, OR

«ИЛИ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию дизъюнкции или логического сложения. Он так же как и элемент «И» выпускается с двумя, тремя, четырьмя и т. д. входами и с одним выходом. Условные обозначения логических элементов «ИЛИ» с различным количеством входов показаны на рисунке. Обозначаются данные элементы так: 2ИЛИ, 3ИЛИ, 4ИЛИ и т. д.

 

 

Логический элемент «НЕ» - отрицание, инвертор, NOT

«НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического отрицания. Данный элемент, имеющий один выход и только один вход, называют еще инвертором, поскольку он на самом деле инвертирует (обращает) входной сигнал. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «НЕ».

 

Синтез комбинированных цепей. Диаграмма Вейча

Этапы синтеза: 1. Составляется таблица функционирования логической цепи - таблица истинности. Эта таблица показывает, чему равен выходной сигнал цепи при различных сочетаниях входных сигналов; 2. Исходя из таблицы истинности записывается логическая функция; 3. Логическая функция минимизируется и преобразуется к виду, удобному для реализации на логических ячейках заданного типа

Пусть необходимо построить мажоритарную ячейку на три входа, т. е. такую ячейку, у которой сигнал на выходе равен единице тогда, когда большинство входных сигналов равно единиц.

Таблица истинности

Логическая функция

Минимизация:

Для элементов И-НЕ:

Диаграмма Вейча прямоугольная таблица, в которой число клеток равно числу возможных минтермов. Каждой клетке таблицы ставится в соответствие определенная конъюнкция, причем делается это таким образом, чтобы в соседних клетках (снизу и сверху, слева и справа) конъюнкции отличались не более чем одним сомножителем. При заполнении таблицы в соответствующую клетку ставится 1, если минимизируемая функция при данном наборе аргументов равна единице. В остальные клетки таблицы вписываются нули.

Правила проведения контуров: контур должен быть прямоугольным; внутри контура должны быть только клетки, заполненные единицами; число клеток, находящихся внутри контура, должно быть целой степенью числа 2, т.е. может быть равно 1, 2, 4, 8...; одни и те же клетки, заполненные единицами, могут входить в несколько контуров; при проведении контуров самая нижняя и самая верхняя строки таблицы считаются соседними, то же - для крайнего левого и крайнего правого столбцов; число контуров должно быть как можно меньшим, а сами контуры как можно большими.

При проведение контуров, охватывающий единицы первый и четвертый столбцы считаются соседними, диаграмму можно представить себе как бы свернутой в виде цилиндра. Для того чтобы найти логическое выражение, которое описывает в диаграмме Вейча контур, охватывающий единицы, нужно рассмотреть обозначения строк и столбцов, входящих в этот контур, и исключить из этих обозначений те аргументы, которые изменяют свое значение внутри контура. Если, например, контур охватывает столбцы х₂х₃и х₂х₃, то аргумент х₃ из обозначения контура следует исключить. Учитывая, что этот контур располагается в строке x₁ получаем окончательное обозначение контура x₁x₂ Выписывая, таким образом, обозначения всех трех контуров, находим выражение, уже полученное нами ранее алгебраическим путем: