Оценка управляемости и наблюдаемости линейной САР

 

Анализ САР с П-регулятором

 

 Разработка математической модели типа «вход-состояние-выход»

 

Основная передаточная функция САР с П-регулятором была получена в п. 1.3. Она имеет вид:

 

,

где ,

 

Порядок характеристического полинома . Для данной САР выбираем вторую управляемую форму или управляемое каноническое представление (УКП). Математическая модель САР описывается следующей системой векторно-матричных уравнений:

 

где

 

Script 12:

>> b2=2.397;b1=18.64;b0=5.859;

>> a3=336;a2=148.4;a1=39.64;a0=6.859;

>> A1=[0 1 0;0 0 1;-a0/a3 -a1/a3 -a2/a3];

>> B1=[0;0;1];

>> C1=[b0/a3 b1/a3 b2/a3];

>> D1=0;

>> sys1=ss(A1,B1,C1,D1)

a =

x1 x2 x3

x1 0 1 0

x2 0 0 1

x3 -0.02041 -0.118 -0.4417

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 1

c =

x1 x2 x3

y1 0.01744 0.05548 0.007134

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

>> step(sys1);grid

Рисунок 9 – Переходная характеристика САР с П-регулятором

 

При исользовании модели «вход-выход» и модели «вход-состояние-выход» были получены абсолютно идентичные переходные характеристики (рисунки 4 и 9), следовательно, модель «вход-состояние-выход» для САР с П-регулятором рассчитана, верно.

 

 Структурная схема САР с П-регулятором

 

Рисунок 10 – Структурная схема САР с П-регулятором

Рисунок 11 – Схема s-модели САР с П-регулятором

 

Рисунок 12 – Переходная характеристика САР с П-регулятором

 

Переходная характеристика, полученная по s-модели САР с П-регулятором с помощью пакета Simulink системы MATLAB совпадает с полученными ранее переходными характеристиками, значит s-модель построена верно.

 

 Оценка управляемости САР с П-регулятором

Оценку управляемости САР будем проводить с помощью критерия управляемости Калмана. Матрица управляемости имеет следующий вид:

Script 13:

 

>> Y1=[B1 A1*B1 A1^2*B1]

Y1 =

0 0 1.0000

0 1.0000 -0.4417

1.0000 -0.4417 0.0771

>> rY1=rank(Y1)

rY1 =

3

>> dY1=det(Y1)

dY1 =

-1

 

Согласно критерию управляемости Калмана исследуемая система полностью управляема, так как ранг матрицы управляемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы управляемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью управляема.

 

 Оценка наблюдаемости САР с П-регулятором

Оценку наблюдаемости САР будем проводить с помощью критерия наблюдаемости Калмана. Матрица наблюдаемости имеет следующий вид:

 

 

Script 14:

>> H1=[C1; C1*A1; C1*A1^2]

H1 =

0.0174 0.0555 0.0071

-0.0001 0.0166 0.0523

-0.0011 -0.0063 -0.0065

>> rH1=rank(H1)

rH1 = 3

>> dH1=det(H1)

dH1 =

8.5991e-007

 

Согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая система полностью наблюдаема, так как ранг матрицы наблюдаемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы наблюдаемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью наблюдаема.

 

Анализ САР с ПИ-регулятором

 

 Разработка математической модели типа «вход-состояние-выход»

Основная передаточная функция САР с ПИ-регулятором была получена в п. 1.4. Она имеет вид:

 

,

где ,

.

Порядок характеристического полинома . Для данной САР выбираем вторую управляемую форму или управляемое каноническое представление (УКП). Математическая модель САР описывается следующей системой векторно-матричных уравнений:

 

где  

 

Script 15:

>> b3=1.089;b2=8.558;b1=3.348;b0=0.2156;

>> a4=336;a3=147.1;a2=29.56;a1=4.348;a0=0.2156;

>> A2=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-a0/a4 -a1/a4 -a2/a4 -a3/a4];

>> B2=[0;0;0;1];

>> C2=[b0/a4 b1/a4 b2/a4 b3/a4];

>> D2=0;

>> sys2=ss(A2,B2,C2,D2)

a =

x1 x2 x3 x4

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

x3 0 0 0 1

x4 -0.0006417 -0.01294 -0.08798 -0.4378

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 0

x4 1

c =

x1 x2 x3 x4

y1 0.0006417 0.009964 0.02547 0.003241

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

>> step(sys2);grid

 

Рисунок 13 – Переходная характеристика САР с ПИ-регулятором

 

При исользовании модели «вход-выход» и модели «вход-состояние-выход» были получены абсолютно идентичные переходные характеристики (рисунки 5 и 13), следовательно, модель «вход-состояние-выход» для САР с ПИ-регулятором рассчитана верно.

 Структурная схема САР с ПИ-регулятором

 

Рисунок 14 – Структурная схема САР с ПИ-регулятором

 

Рисунок 15 – Схема s-модели САР с ПИ-регулятором

Рисунок 16 – Переходная характеристика САР с ПИ-регулятором

 

Переходная характеристика, полученная по s-модели САР с ПИ-регулятором с помощью пакета Simulink системы MATLAB совпадает с полученными ранее переходными характеристиками, значит s-модель построена, верно.

 

 Оценка управляемости САР с ПИ-регулятором

Оценку управляемости САР будем проводить с помощью критерия управляемости Калмана. Матрица управляемости имеет следующий вид:

 

Script 16:

>> Y2=[B2 A2*B2 A2^2*B2 A2^3*B2]

Y2 =

0 0 0 1.0000

0 0 1.0000 -0.4378

0 1.0000 -0.4378 0.1037

1.0000 -0.4378 0.1037 -0.0198

>> rY2=rank(Y2)

rY2 = 4

>> dY2=det(Y2)

dY2 = 1

 

Согласно критерию управляемости Калмана исследуемая система полностью управляема, так как ранг матрицы управляемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы управляемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью управляема.

 

 Оценка наблюдаемости САР с ПИ-регулятором

Оценку наблюдаемости САР будем проводить с помощью критерия наблюдаемости Калмана. Матрица наблюдаемости имеет следующий вид:

 

 

Script 17:

>> H2=[C2; C2*A2; C2*A2^2; C2*A2^3]

H2 =

0.0006 0.0100 0.0255 0.0032

-0.0000 0.0006 0.0097 0.0241

-0.0000 -0.0003 -0.0015 -0.0009

0.0000 -0.0000 -0.0002 -0.0011

>> rH2=rank(H2)

rH2 =4

>> dH2=det(H2)

dH2 = -1.2054e-014

Согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая система полностью наблюдаема, так как ранг матрицы наблюдаемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы наблюдаемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью наблюдаема.

 

Анализ САР с ПИД-регулятором

 

 Разработка математической модели типа «вход-состояние-выход»

Основная передаточная функция САР с ПИД-регулятором была получена в п. 1.5. Она имеет вид:

 

,

где ,

.

 

Порядок характеристического полинома . Математическая модель данной САР описывается следующей системой векторно-матричных уравнений:

 

где

 

,

,

,

,

.

 

Script 18:

>> b4=1.836;b3=16.13;b2=19;b1=5.77;b0=0.396;

>> a4=337.8;a3=162.1;a2=40;a1=6.77;a0=0.396;

>> v0=b4/a4;

>> v1=(b3-v0*a3)/a4;

>> v2=(b2-v0*a2-v1*a3)/a4;

>> v3=(b1-v0*a1-v1*a2-v2*a3)/a4;

>> v4=(b0-v0*a0-v1*a1-v2*a2-v3*a3)/a4;

>> A3=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-a0/a4 -a1/a4 -a2/a4 -a3/a4];

>> B3=[v1;v2;v3;v4];

>> C3=[1 0 0 0];

>> D3=v0;

>> sys3=ss(A3,B3,C3,D3)

a =

x1 x2 x3 x4

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

x3 0 0 0 1

x4 -0.001172 -0.02004 -0.1184 -0.4799

b =

u1

x1 0.04514

x2 0.03394

x3 -0.00466

x4 -0.001521

c =

x1 x2 x3 x4

y1 1 0 0 0

d =

u1

y1 0.005435

Continuous-time model.

>> step(sys3);grid

 

Рисунок 17 – Переходная характеристика САР с ПИД-регулятором

 

При исользовании модели «вход-выход» и модели «вход-состояние-выход» были получены абсолютно идентичные переходные характеристики (рисунки 7 и 17), следовательно, модель «вход-состояние-выход» для САР с ПИД-регулятором рассчитана, верно.

 Структурная схема САР с ПИД-регулятором

 

Рисунок 18 – Структурная схема САР с ПИД-регулятором

 

Рисунок 19 – Схема s-модели САР с ПИД-регулятором

 

Рисунок 20 – Переходная характеристика САР с ПИД-регулятором

 

Переходная характеристика, полученная по s-модели САР с ПИД-регулятором с помощью пакета Simulink системы MATLAB совпадает с полученными ранее переходными характеристиками, значит s-модель построена, верно.

 

 Оценка управляемости САР с ПИД-регулятором

Оценку управляемости САР будем проводить с помощью критерия управляемости Калмана. Матрица управляемости имеет вид (15):

 

Script 19:

 

>> Y3=[B3 A3*B3 A3^2*B3 A3^3*B3]

Y3 =

0.0451 0.0339 -0.0047 -0.0015

0.0339 -0.0047 -0.0015 0.0005

-0.0047 -0.0015 0.0005 -0.0000

-0.0015 0.0005 -0.0000 -0.0000

>> rY3= rank(Y3)

rY3 = 4

>> dY3=det(Y3)

dY3 = -1.6937e-014

 

Согласно критерию управляемости Калмана исследуемая система полностью управляема, так как ранг матрицы управляемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы управляемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью управляема.

 

 Оценка наблюдаемости САР с ПИД-регулятором

Оценку наблюдаемости САР будем проводить с помощью критерия наблюдаемости Калмана. Матрица наблюдаемости имеет следующий вид:

 

Script 20:

>> H3=[C3;C3*A3;C3*A3^2;C3*A3^3]

H3 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

>> rH3=rank(H3)

rH3 = 4

>> dH3=det(H3)

dH3 = 1

 

Согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая система полностью наблюдаема, так как ранг матрицы наблюдаемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы наблюдаемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью наблюдаема.

Анализ нелинейной САР

 

Описание нелинейной САР

 

Cтруктурная схема нелинейной САР представлена на рисунке 21.

 

Рисунок 21 – Структурная схема нелинейной САР

 

Роль АР выполняет ПИ-регулятор с передаточной функцией, полученной в п. 1.4:

 

.

 

Нелинейное звено – звено с насыщением (ограничением), статическая характеристика звена изображена на рисунке 22.

 

Рисунок 22 – Статическая характеристика нелинейного элемента

 

Параметры звена с насыщением: .

 

Оценка возможности возникновения автоколебаний

 

Для оценки возможности и устойчивости автоколебаний в нелинейной САР по методу Гольдфарба необходимо линеаризовать систему. Применим к нелинейному элементу гармоническую линеаризацию. Тогда передаточная функция звена с насыщением будет иметь вид:

 

,

где ,

 при , т. е. .

 

Таким образом, передаточная функция нелинейного элемента принимает вид:

 

.

 

Условие возникновения автоколебаний:

 

,

или

,

где ,

 

 – передаточная функция линейной части разомкнутой САР с ПИ-регулятором (см. п. 1.4).

Уравнение (19) решаем графически. Для этого необходимо построить на одной комплексной плоскости годограф Найквиста линейной части  и годограф Гольдфарба .

Script 21:

 

>> A=0.001:0.001:5;

>> Wnon=(2./pi).*(asin(2.4./A)+(2.4./A).*sqrt(1-5.76./A.^2));

>> Z=-1./(Wnon);

>> Re=real(Z);

>> Im=imag(Z);

>> w=0.1:0.01:1;

>> W2=(b3*(j*w).^3+b2*(j*w).^2+b1*(j*w)+b0)./ ...

(a4*(j*w).^4+a3*(j*w).^3+a2*(j*w).^2+a1*(j*w));

>> re=real(W2);

>> im=imag(W2);

>> plot(re,im,Re,Im);grid

 

Построенные в результате выполнения Script 21 годографы приведены на рисунке 23. На рисунке 24 показана увеличенно область, в которой годографы могут пересекаться. Видно, что годографы не пересекаются, значит автоколебания в системе невозможны.

 

Рисунок 23 – Годографы линеаризованной САР

Рисунок 24 – Годографы линеаризованной САР (увеличенно)

 

Моделирование нелинейной САР в Simulink

 

Для подтверждения сделанных выводов построим модель САР в Simulink. Схема модели изображена на рисунке 25, переходная характеристика, полученная с помощью этой модели – на рисунке 26.

 

Рисунок 25 – Схема s-модели нелинейной САР

 

Рисунок 26 – Переходная характеристика нелинейной САР

Очевидно, что автоколебаний в системе нет, значит, расчеты и вывод о том, что в системе невозможны автоколебания, были сделаны верно.

 

Заключение

 

В ходе выполнения курсового проекта был произведен анализ объекта регулирования, построены кривая разгона ОР.

В результате проведения необходимых расчетов были определены оптимальные параметры настройки П, ПИ, ПИД-регуляторов, запас устойчивости систем, оценено качество переходных процессов САР с П, ПИ, ПИД-регуляторами. Также был проведен анализ наблюдаемости и управляемости САР: система со всеми тремя регуляторами оказалась полностью наблюдаемой и управляемой.

Для случая, когда регулирующий орган имеет нелинейную характеристику был проведен анализ на возможность возникновения автоколебаний в нелинейной системе регулирования методом Гольдфарба. Установлено, что автоколебания в системе невозможны. Невозможность автоколебаний подтверждена моделированием системы в Simulink.